Exercício 2. Seja X uma variável aleatória com distribuição Pareto de parâmetros ( alpha, 3 ). Isto é, a função de distribuição é dada por
F(x)=1-(alphax+alpha)^3 alpha>0, x>0
  1. Calcular a função densidade e função de sobrevivência
  2. Calcular a função de mortalidade
  3. Graficar estas funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre Distribuição Pareto com parâmetros (alpha, 3). A função de distribuição acumulada (CDF) é dada por:
F(x) = 1 - (alphax + alpha)^3 com alpha > 0, x > 0
Vamos precisar entender e calcular a função densidade, a função de sobrevivência, a função de mortalidade e, por fim, plotar essas funções. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

1. Calcular a função densidade e a função de sobrevivência
Primeiro, vamos calcular a função densidade de probabilidade (PDF). Sabemos que a função densidade é a derivada da função de distribuição acumulada F(x) em relação a x.
f(x) = dF(x)dx
Vamos derivar F(x):
F(x) = 1 - (alphax + alpha)^3
Derivando:
f(x) = 0 - 3 (alphax + alpha)^2 cdot (-alpha(x + alpha)^2)
f(x) = 3 (alphax + alpha)^3
Então, a função densidade é:
f(x) = 3alpha^3(x + alpha)^4
Agora, a função de sobrevivência S(x) é simplesmente 1 - F(x):
S(x) = 1 - F(x) = (alphax + alpha)^3

Passo 3

2. Calcular a função de mortalidade
A função de mortalidade m(x) é definida como a razão entre a função de densidade f(x) e a função de sobrevivência S(x):
m(x) = f(x)S(x)
Já temos f(x) e S(x):
f(x) = 3alpha^3(x + alpha)^4
S(x) = (alphax + alpha)^3
Vamos calcular m(x):
m(x) = 3alpha^3(x + alpha)^4(alphax + alpha)^3 = 3 cdot alpha^3(x + alpha)^4 cdot (x + alpha)^3alpha^3 = 3x + alpha
Então, a função de mortalidade é:
m(x) = 3x + alpha

Passo 4

3. Graficar estas funções
Para graficar as funções f(x), S(x) e m(x), podemos usar um software como o Desmos, GeoGebra ou qualquer outra ferramenta de plotagem. Vou descrever como seriam os gráficos:
  • Função Densidade f(x): É uma função que começa em x = 0 com f(0) = 3alpha^3alpha^4 = 3alpha e decresce à medida que x aumenta.
  • Função de Sobrevivência S(x): Começa em S(0) = 1 e decresce suavemente em direção a zero conforme x aumenta.
  • Função de Mortalidade m(x): É uma função hiperbólica que diminui à medida que x aumenta, começando em m(0) = 3alpha e se aproximando de zero conforme x cresce.
Exemplo de Gráficos:
Suponha que alpha = 1 para simplificar:
  • f(x) = 3(x + 1)^4
  • S(x) = (1x + 1)^3
  • m(x) = 3x + 1
Plotando essas funções no intervalo x > 0, você verá que todas elas decrescem, mas com diferentes taxas de decaimento.

Resposta

  1. Função Densidade:
    f(x) = 3alpha^3(x + alpha)^4
  2. Função de Sobrevivência:
    S(x) = (alphax + alpha)^3
  3. Função de Mortalidade:
    m(x) = 3x + alpha
Os gráficos dessas funções mostram que todas decrescem conforme x aumenta, com f(x) e S(x) tendendo a zero e m(x) aproximando-se de zero também, mas de forma hiperbólica.

Exercícios relacionados