Exercício 2. Seja
uma variável aleatória com distribuição Pareto de parâmetros (
). Isto é, a função de distribuição é dada por
- Calcular a função densidade e função de sobrevivência
- Calcular a função de mortalidade
- Graficar estas funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre Distribuição Pareto com parâmetros
. A função de distribuição acumulada (CDF) é dada por:
Vamos precisar entender e calcular a função densidade, a função de sobrevivência, a função de mortalidade e, por fim, plotar essas funções. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
1. Calcular a função densidade e a função de sobrevivência
Primeiro, vamos calcular a função densidade de probabilidade (PDF). Sabemos que a função densidade é a derivada da função de distribuição acumulada
em relação a
.
Vamos derivar
:
Derivando:
Então, a função densidade é:
Agora, a função de sobrevivência
é simplesmente
:
Passo 3
2. Calcular a função de mortalidade
A função de mortalidade
é definida como a razão entre a função de densidade
e a função de sobrevivência
:
Já temos
e
:
Vamos calcular
:
Então, a função de mortalidade é:
Passo 4
3. Graficar estas funções
Para graficar as funções
,
e
, podemos usar um software como o Desmos, GeoGebra ou qualquer outra ferramenta de plotagem. Vou descrever como seriam os gráficos:
-
Função Densidade
: É uma função que começa em com e decresce à medida que aumenta. -
Função de Sobrevivência
: Começa em e decresce suavemente em direção a zero conforme aumenta. -
Função de Mortalidade
: É uma função hiperbólica que diminui à medida que aumenta, começando em e se aproximando de zero conforme cresce.
Exemplo de Gráficos:
Suponha que
para simplificar:
Plotando essas funções no intervalo
, você verá que todas elas decrescem, mas com diferentes taxas de decaimento.
Resposta
-
Função Densidade:
-
Função de Sobrevivência:
-
Função de Mortalidade:
Os gráficos dessas funções mostram que todas decrescem conforme
aumenta, com
e
tendendo a zero e
aproximando-se de zero também, mas de forma hiperbólica.