Exercicio 7 Seja T(x, y)=(x+2 y, 3 x+4 y). Encontre a matriz associada a T na base canônica.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear TcolonR^2toR^2 por
T(x,y) = (,x + 2y,;3x + 4y,)
e pede a matriz de T na base canônica de R^2. Vamos usar o fato de que nessa base as colunas da matriz são as imagens de e1=(1,0) e e2=(0,1).

Passo 2

Lembrando que, na base canônica, se e1 e e2 são os vetores colunas (1,0) e (0,1), então
[T] = l[;T(e1);;;T(e2)r]
onde cada T(ei) é escrito em coordenadas canônicas e forma a coluna i da matriz.

Passo 3

Calculemos as imagens:
T(e1)=T(1,0) = (,1 + 2cdot0,;3cdot1 + 4cdot0,) = (1,3),
T(e2)=T(0,1) = (,0 + 2cdot1,;3cdot0 + 4cdot1,) = (2,4)

Passo 4

Colocando essas imagens como colunas, a matriz associada a T na base canônica é
[T] = 1 & 2 3 & 4

Resposta

1 & 2 3 & 4

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