(1,5) Sejam B1=u1, u2 e B2=v1, v2 as bases de Re^2 dadas por u1=(2,2), u2=(4,-1), v1=(1,3) e v2=(-1,-1).
a) Encontre a matriz de transição PB2 B1
b) Encontre a matriz de transição PB1 B2
c) Seja w=(3,-5). Encontre [w]B2 e use a matriz PB2 B1 para calcular [w]B1 a partir de [w]B2.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2:
B1=u1=(2,2),,u2=(4,-1), B2=v1=(1,3),,v2=(-1,-1),
e pede as matrizes de transição PB2to B1 e PB1to B2, além de expressar vec w=(3,-5) nessas bases.

Passo 2

Para obter PB2to B1 representamos cada vetor de B2 como combinação linear dos vetores de B1. As coordenadas [vj]B1 formam as colunas de PB2to B1.

Passo 3

Resolvendo
a,u1+b,u2=v1, a(2,2)+b(4,-1)=(1,3)
vem
;2a+4b=1,;2a-b=3;Rightarrow;a=tfrac1310,,b=-tfrac25
Para v2=(-1,-1) resolvemos
a(2,2)+b(4,-1)=(-1,-1)
e achamos
;a=-tfrac12,;b=0
Logo
PB2to B1 = 1310&-12[6pt] -25&0 ]

Passo 4

Para PB1to B2 fazemos o inverso: cada ui como combinação de v1,v2. Resolvendo
c,v1+d,v2=u1, c(1,3)+d(-1,-1)=(2,2)
obtém-se (c,d)=(0,-2).
Para u2=(4,-1) resolvendo
c(1,3)+d(-1,-1)=(4,-1)
vem (c,d)=(-tfrac52,-tfrac132).
Assim
PB1to B2 = 0&-tfrac52[6pt] -2&-tfrac132 ]

Passo 5

Para vec w=(3,-5) achamos [vec w]B2 resolvendo
x,v1+y,v2=(3,-5),
isto é
;x-y=3,;3x-y=-5;Rightarrow;(x,y)=(-4,-7).
Portanto
[vec w]B2=-4-7

Passo 6

Usamos
[vec w]B1 =PB2to B1,[vec w]B2 = 1310&-12 -25&0 -4-7 =-1710[4pt]85 ]

Resposta

a) PB2to B1=tfrac1310&-tfrac12[4pt]-tfrac25&0
b) PB1to B2=0&-tfrac52[4pt]-2&-tfrac132
c) [vec w]B2=-4-7 e
[vec w]B1=-tfrac1710[4pt]tfrac85]

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