Exercício 3. Seja um tempo, T, que tem distribuição
F(x)=1-e^-0,01 x, x >= 0
  1. Calcular a função densidade e função de sobrevivência
  2. Calcular a função de mortalidade
  3. Graficar estas funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um tempo aleatório F(x)=1-e^-0,01x, x>=0 com função de distribuição
Isso é uma distribuição exponencial com parâmetro . O que precisamos encontrar:
  1. A função densidade e a função de sobrevivência .
  2. A função de mortalidade (hazard) .
  3. Gráficos dessas três funções.

Passo 2

Primeiro, a densidade f(x)=F'(x)=lambda e^-lambda x é a derivada de boxedf(x)=0,01,e^-0,01x, x>=0 . Lembra que se boxedS(x)=1-F(x)=e^-0,01x, x>=0 , então
No nosso caso , logo
Agora, a função de sobrevivência é . Então

Passo 3

A função de mortalidade (taxa de risco) h(x)=f(x)S(x) é definida como
h(x)=0,01,e^-0,01xe^-0,01x=0,01
Substituindo nossas expressões:
boxedh(x)=0,01, x>=0
Ou seja,
Curiosidade: na exponencial a taxa é constante, por isso é “sem memória”.

Passo 4

Para visualizar, a gente pode usar Python com Matplotlib. Um exemplo rápido:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Domínio
x = np.linspace(0, 500, 1000)

# Funções
f = 0.01 * np.exp(-0.01 * x)
S = np.exp(-0.01 * x)
F = 1 - S
h = np.full_like(x, 0.01)

# Plot
plt.figure(figsize=(12,8))

plt.subplot(2,2,1)
plt.plot(x, f)
plt.title("Densidade f(x)")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("f(x)")

plt.subplot(2,2,2)
plt.plot(x, S)
plt.title("Sobrevivência S(x)")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("S(x)")

plt.subplot(2,2,3)
plt.plot(x, F)
plt.title("Distribuição F(x)")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("F(x)")

plt.subplot(2,2,4)
plt.plot(x, h)
plt.title("Mortalidade h(x)")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("h(x)")

plt.tight_layout()
plt.show()
Assim você vê:
  • decai exponencialmente;
  • também decai;
  • cresce até 1;
  • é uma linha reta em 0,01.

Resposta

f(x) =
S(x) =
h(x) =

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