Exercício 3. Seja um tempo,
, que tem distribuição
- Calcular a função densidade e função de sobrevivência
- Calcular a função de mortalidade
- Graficar estas funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um tempo aleatório
com função de distribuição
Isso é uma distribuição exponencial com parâmetro
. O que precisamos encontrar:
- A função densidade
e a função de sobrevivência . - A função de mortalidade (hazard)
. - Gráficos dessas três funções.
Passo 2
Primeiro, a densidade
é a derivada de
. Lembra que se
, então
No nosso caso
, logo
Agora, a função de sobrevivência
é
. Então
Passo 3
A função de mortalidade (taxa de risco)
é definida como
Substituindo nossas expressões:
Ou seja,
Curiosidade: na exponencial a taxa é constante, por isso é “sem memória”.
Passo 4
Para visualizar, a gente pode usar Python com Matplotlib. Um exemplo rápido:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Domínio
x = np.linspace(0, 500, 1000)
# Funções
f = 0.01 * np.exp(-0.01 * x)
S = np.exp(-0.01 * x)
F = 1 - S
h = np.full_like(x, 0.01)
# Plot
plt.figure(figsize=(12,8))
plt.subplot(2,2,1)
plt.plot(x, f)
plt.title("Densidade f(x)")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("f(x)")
plt.subplot(2,2,2)
plt.plot(x, S)
plt.title("Sobrevivência S(x)")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("S(x)")
plt.subplot(2,2,3)
plt.plot(x, F)
plt.title("Distribuição F(x)")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("F(x)")
plt.subplot(2,2,4)
plt.plot(x, h)
plt.title("Mortalidade h(x)")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("h(x)")
plt.tight_layout()
plt.show()
Assim você vê:
-
decai exponencialmente; -
também decai; -
cresce até 1; -
é uma linha reta em 0,01.
Resposta
f(x) =
S(x) =
h(x) =
S(x) =
h(x) =