(2 pontos) Seja f: R^n R^n um campo de classe C^1 tal que lang<= x, f(x)rang<= <= 0. Mostre que toda solução máxima x: I R^n de
x^prime(t)=f(x(t)), x(0)=x0
está definida para todo t >= 0.

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial de classe C^1,
f:R^ntoR^n,
tal que para todo xinR^n vale lang<= x,f(x)rang<=<=0. Queremos mostrar que a solução máxima x:ItoR^n do problema de Cauchy
x'(t)=f(x(t)), x(0)=x0
não explode em tempo finito para t>=0, ou seja, que seu intervalo de definição é [0,+infty).

Passo 2

Considere a função energia E(t)=|x(t)|^2. Como x é solução, temos
ddtE(t) =ddtlang<= x(t),x(t)rang<= =2lang<= x(t),x'(t)rang<= =2lang<= x(t),f(x(t))rang<=<=0
Logo E(t) é não crescente, e assim
|x(t)|^2<=|x(0)|^2=|x0|^2 forall,tin I,
isto é, |x(t)|<=|x0| para todo t em que a solução existe.

Passo 3

Como f é C^1, ele é localmente Lipschitz e, em particular, Lipschitz no bola fechada
B=xinR^n:|x|<=|x0|
Pelo teorema de continuação de soluções de ODE, enquanto x(t) permanecer em B, a solução pode ser estendida. Mas vimos que |x(t)|<=|x0| para todo t no domínio. Portanto não há explosão em tempo finito, e o extremo direito do intervalo maximal é +infty.

Resposta

A solução máxima está definida para todo t>=0.

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