(2 pontos) Seja
um campo de classe
tal que
. Mostre que toda solução máxima
de
está definida para todo
.
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial de classe
,
tal que para todo
vale
. Queremos mostrar que a solução máxima
do problema de Cauchy
não explode em tempo finito para
, ou seja, que seu intervalo de definição é
.
Passo 2
Considere a função energia
. Como
é solução, temos
Logo
é não crescente, e assim
isto é,
para todo
em que a solução existe.
Passo 3
Como
é
, ele é localmente Lipschitz e, em particular, Lipschitz no bola fechada
Pelo teorema de continuação de soluções de ODE, enquanto
permanecer em
, a solução pode ser estendida. Mas vimos que
para todo
no domínio. Portanto não há explosão em tempo finito, e o extremo direito do intervalo maximal é
.
Resposta
A solução máxima está definida para todo
.