Seja ℎ̃∈ℝ𝑁. Mostre que ℎ̃ é ortogonal a 𝑊 se, e somente se, ⟨ℎ̃, 𝑔̃𝑗⟩=0, para todo 𝑗=0, …, 𝑚. Conclua que 𝑎0 𝑔̃0+…+𝑎𝑚 𝑔̃𝑚 é a projeção de 𝑓̃ em 𝑊 se, e somente se, 𝑓̃−𝑎0 𝑔̃0−…−𝑎𝑚 𝑔̃𝑚 for ortogonal a todo 𝑔̃𝑗, 𝑗=0, …, 𝑚.
Passo 1
O enunciado trabalha em
e seja
Precisamos mostrar que um vetor
é ortogonal a
(isto é,
para todo
) se, e somente se,
Em seguida, usar esse fato para caracterizar a projeção de
em
como a combinação linear
cujo resíduo
seja ortogonal a cada
.
Passo 2
Suponha que
seja ortogonal a
. Então, em particular, cada gerador
satisfaz
pois a ortogonalidade a todo
vale para cada um dos vetores
,
.
Passo 3
Agora suponha que
para todo
. Todo vetor
pode ser escrito como
Pelo bilinearidade do produto interno,
Logo
é ortogonal a todo
. Isso prova a equivalência desejada.
Passo 4
Por definição, o vetor
é a projeção de
em
se, e somente se,
for ortogonal a
. Em outras palavras,
é a única combinação em
que deixa o resíduo perpendicular a todos os vetores de
.
Passo 5
Como
, temos
Pela equivalência do Passo 1, dizer que
é ortogonal a
equivale a exigir
Essas são exatamente as equações normais que determinam os coeficientes
. Portanto
é a projeção de
em
se, e somente se, o resíduo
for ortogonal a cada
.