Seja ℎ̃∈ℝ𝑁. Mostre que ℎ̃ é ortogonal a 𝑊 se, e somente se, ⟨ℎ̃, 𝑔̃𝑗⟩=0, para todo 𝑗=0, …, 𝑚. Conclua que 𝑎0 𝑔̃0+…+𝑎𝑚 𝑔̃𝑚 é a projeção de 𝑓̃ em 𝑊 se, e somente se, 𝑓̃−𝑎0 𝑔̃0−…−𝑎𝑚 𝑔̃𝑚 for ortogonal a todo 𝑔̃𝑗, 𝑗=0, …, 𝑚.

Passo 1

O enunciado trabalha em R^N e seja
W = spantilde g0,dots,tilde gm
Precisamos mostrar que um vetor tilde h é ortogonal a W (isto é, lang<= tilde h,wrang<==0 para todo win W) se, e somente se,
lang<= tilde h,tilde gjrang<= = 0 para todo j=0,dots,m
Em seguida, usar esse fato para caracterizar a projeção de tilde f em W como a combinação linear sumk=0^m aktilde gk cujo resíduo tilde f - sumk=0^m aktilde gk seja ortogonal a cada tilde gj.

Passo 2

Suponha que tilde h seja ortogonal a W. Então, em particular, cada gerador tilde gjin W satisfaz
lang<= tilde h,tilde gjrang<= = 0,
pois a ortogonalidade a todo win W vale para cada um dos vetores tilde gj, j=0,dots,m.

Passo 3

Agora suponha que lang<= tilde h,tilde gjrang<==0 para todo j=0,dots,m. Todo vetor win W pode ser escrito como
w = sumk=0^m alphak,tilde gk
Pelo bilinearidade do produto interno,
lang<= tilde h, wrang<= = llang<= tilde h,sumk=0^m alphak,tilde gkrrang<= = sumk=0^m alphak,lang<= tilde h,tilde gkrang<= = sumk=0^m alphakcdot 0 =0
Logo tilde h é ortogonal a todo win W. Isso prova a equivalência desejada.

Passo 4

Por definição, o vetor pin W é a projeção de tilde f em W se, e somente se,
tilde f - p
for ortogonal a W. Em outras palavras, p é a única combinação em W que deixa o resíduo perpendicular a todos os vetores de W.

Passo 5

Como pin W, temos
p = sumk=0^m ak,tilde gk
Pela equivalência do Passo 1, dizer que tilde f-p é ortogonal a W equivale a exigir
lang<= tilde f - sumk=0^m ak,tilde gk,;tilde gjrang<= = 0 para todo j=0,dots,m
Essas são exatamente as equações normais que determinam os coeficientes a0,dots,am. Portanto
a0,tilde g0 + dots + am,tilde gm
é a projeção de tilde f em W se, e somente se, o resíduo tilde f - sumk=0^m ak,tilde gk for ortogonal a cada tilde gj.

Resposta

a0,tilde g0 + dots + am,tilde gm é a projeção de tilde f em W se, e somente se,
lang<= tilde f - (a0,tilde g0 + dots + am,tilde gm),;tilde gjrang<= = 0 para todo j=0,dots,m

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