Exercício 8. Seja X uma variável aleatória seguindo distribuição Exponencial com parâmetro \lambda. Calcule E\left(X^{n}\right).

Passo 1

O enunciado dá que X tem distribuição Exponencial com parâmetro \lambda. A pergunta é: calcular \mathbb{E}\!\left(X^{n}\right).\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{o densidade: } f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge 0,\\ \lambda>0.
\text{quantidade a calcular: } \mathbb{E}\!\left(X^{n}\right).

Passo 2

Lembrando a definição de esperança para uma função de uma variável aleatória contínua: se X tem densidade f_X e g é uma função, então
\mathbb{E}\big(g(X)\big)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x)\,dx,
quando a integral existe. Aqui g(x)=x^{n} e a densidade é positiva apenas para x\ge0, logo
\mathbb{E}\!\left(X^{n}\right)=\int_{0}^{\infty} x^{n}\,\lambda e^{-\lambda x}\,dx.

Passo 3

Escrevo explicitamente a integral que precisamos calcular:
\mathbb{E}\!\left(X^{n}\right)=\lambda \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-\lambda x}\,dx.
Agora vamos simplificar essa integral com uma substituição conveniente.

Passo 4

Faço a substituição de variável \;u=\lambda x\;. Então:
x=\frac{u}{\lambda},\qquad dx=\frac{du}{\lambda}.
Substituindo na integral:
\lambda \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-\lambda x}\,dx = \lambda \int_{0}^{\infty} \left(\frac{u}{\lambda}\right)^{n} e^{-u}\,\frac{du}{\lambda}.

Passo 5

Agrupo as constantes fora da integral. Do passo anterior obtemos:
\lambda \cdot \frac{1}{\lambda^{n}} \cdot \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u}\,du = \frac{1}{\lambda^{n}} \int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u}\,du.
Portanto
\mathbb{E}\!\left(X^{n}\right)=\frac{1}{\lambda^{n}} \int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u}\,du.

Passo 6

A integral que sobrou é a definição (prototípica) da função Gama. Definimos, para \alpha>0,
\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t}\,dt.
No nosso caso temos \int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u}\,du, que corresponde a \Gamma(n+1) porque u^{n}=u^{(n+1)-1}. Logo
\int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u}\,du=\Gamma(n+1).
Observação didática: a função Gama satisfaz a relação de recorrência obtida por integração por partes:
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\,\Gamma(\alpha),
e \Gamma(1)=1. Para n inteiro não-negativo, aplicando repetidamente essa relação obtemos \Gamma(n+1)=n!.

Passo 7

Substituindo na expressão do passo 5 chegamos à forma final geral:
\mathbb{E}\!\left(X^{n}\right)=\frac{\Gamma(n+1)}{\lambda^{n}}.
Se n for inteiro não-negativo (caso mais comum em exercícios), então \Gamma(n+1)=n! e portanto
\mathbb{E}\!\left(X^{n}\right)=\frac{n!}{\lambda^{n}}.
Exemplos rápidos para ganhar confiança: para n=1 obtemos \mathbb{E}(X)=1/\lambda; para n=2 obtemos \mathbb{E}(X^{2})=2/\lambda^{2}.

Resposta

\displaystyle \mathbb{E}\!\left(X^{n}\right)=\frac{\Gamma(n+1)}{\lambda^{n}}\n
\displaystyle \text{Para }n\in\{0,1,2,\dots\}:\\ \mathbb{E}\!\left(X^{n}\right)=\frac{n!}{\lambda^{n}}

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