Exercício 8. Seja
uma variável aleatória seguindo distribuição Exponencial com parâmetro
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá que
tem distribuição Exponencial com parâmetro
. A pergunta é: calcular
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Lembrando a definição de esperança para uma função de uma variável aleatória contínua: se
tem densidade
e
é uma função, então
quando a integral existe. Aqui
e a densidade é positiva apenas para
, logo
Passo 3
Escrevo explicitamente a integral que precisamos calcular:
Agora vamos simplificar essa integral com uma substituição conveniente.
Passo 4
Faço a substituição de variável
. Então:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agrupo as constantes fora da integral. Do passo anterior obtemos:
Portanto
Passo 6
A integral que sobrou é a definição (prototípica) da função Gama. Definimos, para
,
No nosso caso temos
, que corresponde a
porque
. Logo
Observação didática: a função Gama satisfaz a relação de recorrência obtida por integração por partes:
e
. Para
inteiro não-negativo, aplicando repetidamente essa relação obtemos
.
Passo 7
Substituindo na expressão do passo 5 chegamos à forma final geral:
Se
for inteiro não-negativo (caso mais comum em exercícios), então
e portanto
Exemplos rápidos para ganhar confiança: para
obtemos
; para
obtemos
.