Exercício 1. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} e^{4 y} \cos \left(x+y+\frac{\pi}{2}\right)}{x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}e^{4y}\cos\!\bigl(x+y+\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis no ponto (0,0), e vamos usar manipulação trigonométrica e o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para mostrar que o limite é zero.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\cos\!\bigl(\theta+\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\cos\theta\cos\tfrac{\pi}{2}-\sin\theta\sin\tfrac{\pi}{2} =-\sin\theta.
Tomando \theta=x+y, temos
\cos\!\bigl(x+y+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\sin(x+y).
Assim a função vira
f(x,y) =\frac{x^{3}e^{4y}\cos(x+y+\tfrac{\pi}{2})}{x^{2}+y^{2}} =-\frac{x^{3}e^{4y}\sin(x+y)}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Para usar o Teorema do Confronto, estimamos em módulo:
\bigl|f(x,y)\bigr| =\frac{|x|^{3}\,e^{4y}\,\bigl|\sin(x+y)\bigr|}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{|x|^{3}\,e^{4|y|}}{x^{2}+y^{2}},
pois \bigl|\sin(x+y)\bigr|\le1 e e^{4y}\le e^{4|y|}.

Passo 4

Note que x^{2}+y^{2}\ge x^{2}, logo
\frac{|x|^{3}}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{|x|^{3}}{x^{2}} =|x|.
Além disso, quando (x,y)\to(0,0), temos e^{4|y|}\to1. Então
\bigl|f(x,y)\bigr|\le |x|\,e^{4|y|}\le |x|\,(1+\varepsilon)
sempre que |y| for suficientemente pequeno (escolhendo \varepsilon pequeno).

Passo 5

Como |x|\to0 quando (x,y)\to(0,0), o produto |x|\,(1+\varepsilon)\to0. Pelo Teorema do Confronto, conclui-se que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Resposta

\displaystyle 0

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