Exercício 2. Seja x um número real. Mostrar o teorema :
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se um real
satisfaz
então necessariamente
. O conteúdo é típico de provas com quantificadores em análise real, usando valor absoluto e argumento por contradição.
Passo 2
Para provar uma implicação cujo antecedente é um “
”, assumimos que ele vale: suponha
Queremos deduzir
. Vamos usar prova por contradição: suponha, em vez disso, que
Passo 3
Se
, então
. Isso significa que podemos escolher o valor
o qual satisfaz claramente
. Mas pela nossa suposição inicial teríamos
o que é impossível (ninguém é estritamente menor do que ele mesmo). Obtivemos uma contradição.
Passo 4
Como a suposição
leva a uma contradição, ela deve ser falsa. Logo a única possibilidade é