Exercício 2. Seja x um número real. Mostrar o teorema : (\forall \varepsilon>0,|\mathrm{x}|<\varepsilon) \Rightarrow \mathrm{x}=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se um real x satisfaz
\forall \varepsilon>0,\;|x|<\varepsilon,
então necessariamente x=0. O conteúdo é típico de provas com quantificadores em análise real, usando valor absoluto e argumento por contradição.

Passo 2

Para provar uma implicação cujo antecedente é um “ \forall”, assumimos que ele vale: suponha
\forall \varepsilon>0,\;|x|<\varepsilon.
Queremos deduzir x=0. Vamos usar prova por contradição: suponha, em vez disso, que x \neq 0.

Passo 3

Se x\neq0, então |x|>0. Isso significa que podemos escolher o valor
\varepsilon = |x|,
o qual satisfaz claramente \varepsilon>0. Mas pela nossa suposição inicial teríamos
|x| < \varepsilon = |x|,
o que é impossível (ninguém é estritamente menor do que ele mesmo). Obtivemos uma contradição.

Passo 4

Como a suposição x\neq0 leva a uma contradição, ela deve ser falsa. Logo a única possibilidade é
x = 0.

Resposta

x=0

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