\operatorname{Achar} \frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}}, supondo que:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado define
r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}
e pede a derivada parcial de segunda ordem em relação a x, ou seja
\displaystyle \frac{\partial^{2}r}{\partial x^{2}}.
Para isso vamos precisar aplicar a regra da cadeia para obter \partial r/\partial x e depois a regra do produto para \partial^{2}r/\partial x^{2}.

Passo 2

Primeiro encontramos
\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x}.
Como r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}, pela regra da cadeia:
\frac{\partial r}{\partial x} = \tfrac12\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x = x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}.

Passo 3

Agora vamos calcular
\displaystyle \frac{\partial^{2}r}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl[x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\Bigr].
Usando regra do produto, seja
\displaystyle f(x)=x e \displaystyle g(x)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}.
Então
f'(x)=1, \quad g'(x) = -\tfrac12\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}\cdot 2x = -\,x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}.
Logo
\frac{\partial^{2}r}{\partial x^{2}} = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) = (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2} - x^{2}\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}.

Passo 4

Fatorando (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2} em evidência:
\frac{\partial^{2}r}{\partial x^{2}} = \bigl[(x^{2}+y^{2}+z^{2}) - x^{2}\bigr]\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2} = (y^{2}+z^{2})\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}.

Resposta

\frac{\partial^{2}r}{\partial x^{2}} = \frac{y^{2} + z^{2}}{\bigl(x^{2} + y^{2} + z^{2}\bigr)^{3/2}}.

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