Determinar a derivada mista \frac{\partial^{3} z}{\partial x \partial y^{2}}, desde que z=\sin (x y).

Passo 1

O enunciado dá a função z=\sin(xy) e pede a derivada mista de terceira ordem \displaystyle \frac{\partial^{3}z}{\partial x\,\partial y^{2}}.
O conteúdo aqui é derivada parcial, e vamos usar a regra da cadeia e, depois, a regra do produto.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de z em relação a y, tratando x como constante. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{d}{dy}\bigl[\sin(xy)\bigr] =\cos(xy)\cdot\frac{d}{dy}(xy) =\cos(xy)\cdot x =x\cos(xy).

Passo 3

Agora derivamos \frac{\partial z}{\partial y}=x\cos(xy) mais uma vez em relação a y. O termo x é constante, então
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =x\;\frac{d}{dy}\bigl[\cos(xy)\bigr] =x\bigl[-\sin(xy)\bigr]\cdot\frac{d}{dy}(xy) =-x\sin(xy)\cdot x =-x^2\sin(xy).

Passo 4

Por fim, derivamos \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-x^2\sin(xy) em relação a x. Aqui usamos a regra do produto em -x^2 e \sin(xy), e a regra da cadeia para \sin(xy):
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[-x^2\sin(xy)\bigr] =-2x\sin(xy) \;+\;-x^2\cos(xy)\cdot\frac{d}{dx}(xy) =-2x\sin(xy)-x^2\bigl(y\cos(xy)\bigr).

Resposta

\frac{\partial^{3}z}{\partial x\,\partial y^{2}} =-2x\sin(xy)-x^2y\cos(xy).

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