Exercício 4. Uma caixa contém 3 moedas. Essas moedas, quando arremessadas, apresentarão CARA com probabilidades 0.3 , 0.5 e 0.7 , respectivamente. Uma moeda é selecionada aleatoriamente e então arremessada 10 vezes. Seja N o número de caras obtidas em 10 lançamentos. Encontre:
(a) \mathrm{P}(N=n), n=0,1, \ldots, 10.
(b) A distribuição de N é binomial ou não? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos diz que há três moedas com probabilidades de cara dadas por p_1=0,3, p_2=0,5 e p_3=0,7. Escolhe-se uma moeda ao acaso (cada uma com probabilidade 1/3) e arremessa-se essa mesma moeda 10 vezes. Definimos N como o número de caras em 10 lançamentos. Para resolver (a) vamos usar a lei da probabilidade total e, para cada moeda, a distribuição binomial; para (b) vamos discutir se o resultado final se encaixa numa única binomial.

Passo 2

Aplicando a lei da probabilidade total, para n=0,1,\dots,10 temos
P(N=n) =\sum_{i=1}^{3}P(\text{moeda }i)\,P(N=n\mid \text{moeda }i) =\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{3}\binom{10}{n}p_i^n(1-p_i)^{10-n}.
Substituindo p_1=0,3, p_2=0,5 e p_3=0,7, obtemos
P(N=n) =\frac{1}{3}\binom{10}{n}\Bigl((0,3)^n(0,7)^{10-n}+(0,5)^n(0,5)^{10-n}+(0,7)^n(0,3)^{10-n}\Bigr).

Passo 3

Uma distribuição binomial pura exige que os 10 lançamentos sejam independentes com mesma probabilidade de sucesso p fixa. Aqui, porém, a probabilidade de cara é escolhida aleatoriamente entre três valores antes dos lançamentos, gerando uma mistura de três binomiais distintas. Portanto, a distribuição de N não é binomial única, mas sim uma mistura de binomiais.

Resposta

(a) Para n=0,1,\dots,10,
P(N=n) =\frac{1}{3}\binom{10}{n}\bigl((0,3)^n(0,7)^{10-n}+(0,5)^n(0,5)^{10-n}+(0,7)^n(0,3)^{10-n}\bigr).
(b) A distribuição de N não é binomial, pois é uma mistura de três binomiais com diferentes probabilidades de sucesso em vez de uma única probabilidade fixa.

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