Exercício 4. Uma caixa contém 3 moedas. Essas moedas, quando arremessadas, apresentarão CARA com probabilidades 0.3 , 0.5 e 0.7 , respectivamente. Uma moeda é selecionada aleatoriamente e então arremessada 10 vezes. Seja
o número de caras obtidas em 10 lançamentos. Encontre:
(a)
.
(b) A distribuição de N é binomial ou não? Justifique.
(a)
(b) A distribuição de N é binomial ou não? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos diz que há três moedas com probabilidades de cara dadas por
,
e
. Escolhe-se uma moeda ao acaso (cada uma com probabilidade
) e arremessa-se essa mesma moeda 10 vezes. Definimos
como o número de caras em 10 lançamentos. Para resolver (a) vamos usar a lei da probabilidade total e, para cada moeda, a distribuição binomial; para (b) vamos discutir se o resultado final se encaixa numa única binomial.
Passo 2
Aplicando a lei da probabilidade total, para
temos
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 3
Uma distribuição binomial pura exige que os 10 lançamentos sejam independentes com mesma probabilidade de sucesso
fixa. Aqui, porém, a probabilidade de cara é escolhida aleatoriamente entre três valores antes dos lançamentos, gerando uma mistura de três binomiais distintas. Portanto, a distribuição de
não é binomial única, mas sim uma mistura de binomiais.
Resposta
(a) Para
,
(b) A distribuição de
não é binomial, pois é uma mistura de três binomiais com diferentes probabilidades de sucesso em vez de uma única probabilidade fixa.