Exercício 6 Sejam A5 times 8 in M5 times 8(R) de posto 5 e b in R^5. Mostre que o sistemas A x=b possui infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A de tamanho 5times8 e posto 5, e um vetor bin R^5. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares: espaços de coluna, existência de soluções e teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Como rank(A)=5 e A tem 5 linhas, a dimensão do espaço coluna de A é 5. Isso significa que as colunas de A geram R^5. Em outras palavras, para qualquer bin R^5, existe pelo menos uma solução de Ax=b.

Passo 3

Para contar quantas soluções existem, aplicamos o teorema do posto-nulidade, que diz:
dim(ker A)+rank(A)=n,
onde n=8 é o número de incógnitas de x. Substituindo rank(A)=5, obtemos
dim(ker A)=8-5=3

Passo 4

Isso mostra que o espaço das soluções homogêneas Ax=0 tem dimensão 3, ou seja, há infinitos vetores não nulos que satisfazem Ax=0. Como a solução geral de Ax=b é a soma de uma solução particular mais qualquer vetor do núcleo, concluímos que existem infinitas soluções de Ax=b.

Resposta

O sistema Ax=b possui infinitas soluções.

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