Exercício 6 Sejam
de posto 5 e
. Mostre que o sistemas
possui infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
de tamanho
e posto
, e um vetor
. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares: espaços de coluna, existência de soluções e teorema do posto-nulidade.
Passo 2
Como
e
tem 5 linhas, a dimensão do espaço coluna de
é 5. Isso significa que as colunas de
geram
. Em outras palavras, para qualquer
, existe pelo menos uma solução de
.
Passo 3
Para contar quantas soluções existem, aplicamos o teorema do posto-nulidade, que diz:
onde
Passo 4
Isso mostra que o espaço das soluções homogêneas
tem dimensão 3, ou seja, há infinitos vetores não nulos que satisfazem
. Como a solução geral de
é a soma de uma solução particular mais qualquer vetor do núcleo, concluímos que existem infinitas soluções de
.
Resposta
O sistema
possui infinitas soluções.