Exercício 7. Considere o ponto P=(3,6) e a reta r determinada pela equação cartesiana 2 x-3 y=0. Seja n um vetor ortogonal unitário e u um vetor diretor de r, também unitário. Considere um ponto Q=(x0, y0) arbitrário sobre a reta r.
a) Escreva P Q como combinação linear da base ordenada u, n.
b) Determine v, a projeção ortogonal de P Q sobre n. Encontre o ponto R tal que P R=v
c) Calcule |P R|. Qual a interpretação geométrica de |P R| ?

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(3,6) e a reta rcolon 2x-3y=0. Precisamos decompor o vetor genérico PQ numa base ortonormal vec u,vec n, onde vec u é vetor diretor unitário de r e vec n é vetor normal unitário a r. Depois calculamos a projeção de PQ em vec n e o ponto R tal que PR é essa projeção, por fim achamos |PR| e interpretamos geometricamente.

Passo 2

Como r satisfaz 2x-3y=0, um vetor normal é (2,-3). Logo
vec n = 1raiz2^2+(-3)^2(2,-3) = 1raiz13(2,-3)
Um vetor diretor de r é (3,2), pois 2cdot3-3cdot2=0. Então
vec u = 1raiz3^2+2^2(3,2) = 1raiz13(3,2)

Passo 3

Se Q=(x0,y0) está em r, então 2x0-3y0=0. O vetor
PQ=(x0-3,y0-6)
decompõe-se como
PQ = (PQcdotvec u),vec u +(PQcdotvec n),vec n
Calculando os produtos internos,
PQcdotvec u =3(x0-3)+2(y0-6)raiz13, PQcdotvec n =2(x0-3)-3(y0-6)raiz13

Passo 4

A projeção de PQ sobre vec n é
vec v =(PQcdotvec n),vec n =2(x0-3)-3(y0-6)raiz13;vec n
Mas, usando 2x0-3y0=0, nota-se que
2(x0-3)-3(y0-6) =(2x0-3y0)+12=12
Logo
vec v =12raiz13;1raiz13(2,-3) =1213(2,-3)
Como PR=vec v, temos
R=P+vec v =l(3,6r)+l(tfrac2413,-tfrac3613r) =l(tfrac6313,tfrac4213r)

Passo 5

O comprimento
|PR| =|vec v| =1213,raiz2^2+(-3)^2 =1213raiz13 =12raiz1313
Geometricamente, |PR| é a distância mínima do ponto P até a reta r.

Resposta

a) PQ=3(x0-3)+2(y0-6)raiz13;vec u ;+;2(x0-3)-3(y0-6)raiz13;vec n
b) vec v=1213(2,-3), e R=l(63/13,;42/13r)
c) |PR|=12raiz1313, que é a distância de P à reta r.

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