Exercício 8 Sejam A, B matrizes reais n times n. Mostre que A B=0 se, e somente se, EC(B) é subespaço de N(A).

Passo 1

O enunciado: Dadas matrizes reais A,BinR^ntimes n, precisamos provar que AB=0 se, e somente se, o espaço coluna de B, denotado EC(B), é subespaço do núcleo de A, N(A). Vamos usar as definições de produto de matrizes, imagem (espaço coluna) e núcleo (nullspace).

Passo 2

Suponha que AB=0. Então para todo vetor xinR^n vale
(AB)x ,=, 0
Mas (AB)x = A(Bx). Se yinEC(B), existe x tal que y = Bx. Logo
A y = A(Bx) = (AB)x = 0,
logo yin N(A). Assim EC(B)subseteq N(A).

Passo 3

Agora suponha que EC(B)subseteq N(A). Para mostrar que AB=0 basta observar cada coluna de AB. A j-ésima coluna de AB é
Al(Bejr),
onde ej é o vetor canônico. Como BejinEC(B)subseteq N(A), temos A(Bej)=0. Isso vale para todo j, então todas as colunas de AB são nulas e AB=0.

Resposta

Concluímos que AB=0 se, e somente se, EC(B)subseteq N(A).

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