Exercício 8 Sejam
matrizes reais
. Mostre que
se, e somente se,
é subespaço de
.
Passo 1
O enunciado: Dadas matrizes reais
, precisamos provar que
se, e somente se, o espaço coluna de
, denotado
, é subespaço do núcleo de
,
. Vamos usar as definições de produto de matrizes, imagem (espaço coluna) e núcleo (nullspace).
Passo 2
Suponha que
. Então para todo vetor
vale
Mas
. Se
, existe
tal que
. Logo
logo
. Assim
.
Passo 3
Agora suponha que
. Para mostrar que
basta observar cada coluna de
. A
-ésima coluna de
é
onde
é o vetor canônico. Como
, temos
. Isso vale para todo
, então todas as colunas de
são nulas e
.
Resposta
Concluímos que
se, e somente se,
.