Calcule todas derivadas parciais das funções a seguir.
f(x, y)=\int_{y}^{x} \cos \left(e^{t}\right) d t;

Passo 1

No enunciado temos a função
f(x,y)=\int_{y}^{x}\cos\bigl(e^{t}\bigr)\,dt
e queremos as derivadas parciais de primeira ordem. Para isso usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de diferenciação de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}
vemos que x é o limite superior da integral. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada em relação ao limite superior é simplesmente o integrando avaliado ali, ou seja,
\frac{\partial f}{\partial x} =\cos\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}
note que y aparece como limite inferior. A derivada em relação ao limite inferior introduz um sinal negativo, de modo que
\frac{\partial f}{\partial y} =-\cos\bigl(e^{y}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\cos\bigl(e^{x}\bigr) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-\cos\bigl(e^{y}\bigr)

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