Exercício 9: Sejam
e
duas sequiências reais. Prove que se
é
e
então
.
Passo 1
O enunciado: temos duas sequências reais
e
. Sabemos que
é limitada e
. Queremos provar que
. O conteúdo envolve definição de sequência limitada, definição de limite, e a prova do produto de uma sequência limitada com outra que converge a zero.
Passo 2
Como
é limitada, existe um número
tal que
para todo
. Definimos
. Assim,
e
para todo
.
Passo 3
Aplicamos a definição de limite para
. Dado
, como
, existe
tal que para todo
vale
.
Passo 4
Para
temos
Isso mostra que, para todo
, existe
que garante
sempre que
, logo
.