Exercício 9: Sejam limitada e lim yk=0 duas sequiências reais. Prove que se lim xk cdot yk=0 é e então .

Passo 1

O enunciado: temos duas sequências reais (xk) e (yk). Sabemos que (xk) é limitada e limktoinfty yk = 0. Queremos provar que limktoinfty xk yk = 0. O conteúdo envolve definição de sequência limitada, definição de limite, e a prova do produto de uma sequência limitada com outra que converge a zero.

Passo 2

Como (xk) é limitada, existe um número M'>0 tal que |xk| <= M' para todo k. Definimos M = max1, M'. Assim, M>=1 e |xk| <= M para todo k.

Passo 3

Aplicamos a definição de limite para (yk). Dado varepsilon>0, como limktoinfty yk = 0, existe N tal que para todo k > N vale |yk - 0| = |yk| < varepsilon / M.

Passo 4

Para k > N temos
|xk yk - 0| = |xk|,|yk| <= Mcdot |yk| < M cdot (varepsilon / M) = varepsilon
Isso mostra que, para todo varepsilon>0, existe N que garante |xk yk| sempre que k>N, logo limktoinfty xk yk = 0.

Resposta

limktoinfty xk yk = 0

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