Exercício 1. Sejam p e q os dois últimos dígitos no seu número de matrícula e sejam
A=(1,3,1), B=(p, 1,2) e C=(2,2, q)
pontos no espaço.
(a) Determine a altura do triângulo A B C com respeito à base A B.
(b) Calcule uma equação geral para o plano pi que passa por A, B e C.
(c) Encontre o ponto de pi mais próximo de P=(1,0,1).

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(1,3,1), B=(p,1,2), C=(2,2,q)
e pede:
(a) a altura do triângulo ABC relativa à base AB;
(b) a equação geral do plano pi que passa por A,B,C;
(c) o ponto de pi mais próximo de P=(1,0,1).
Vamos usar produtos vetoriais para área e normal de plano, e projeção ortogonal para o pé da perpendicular.

Passo 2

Calculemos os vetores
AB=B-A=(p-1,,-2,,1), AC=C-A=(1,,-1,,q-1)
A norma de AB é
|AB| = raiz(p-1)^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz(p-1)^2 + 5

Passo 3

O produto vetorial dá a área do paralelogramo ABtimes AC:
n = ABtimes AC = -2,(q-1) - 1cdot(-1) [6pt] - l((p-1)(q-1) - 1cdot1r) [6pt] (p-1)cdot(-1) - (-2)cdot1 = -2q+3 [3pt] -pq + p + q [3pt] 3 - p
Então
|ABtimes AC| = raiz(-2q+3)^2 + (-pq+p+q)^2 + (3-p)^2 ]

Passo 4

A altura h do triângulo em relação à base AB vale
h = |ABtimes AC||AB| = raiz(-2q+3)^2 + (-pq+p+q)^2 + (3-p)^2raiz(p-1)^2+5

Passo 5

Como n é normal ao plano pi, a equação geral é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0
ou, em forma escalar,
(-2q+3)(x-1)+(-pq+p+q)(y-3)+(3-p)(z-1)=0

Passo 6

Para achar o ponto M de pi mais próximo de P=(1,0,1), projetamos P ortogonalmente no plano. Seja lambda tal que
M = P - lambda,n e ncdot(M-A)=0
Calcula-se
ncdot(P-A) = ncdot(0,-3,0) = -3(-pq + p + q) =3,(pq - p - q),
e
|n|^2 = (-2q+3)^2 + (-pq+p+q)^2 + (3-p)^2
Da condição ncdot(P-A)-lambda,|n|^2=0 vem
lambda = 3,(pq - p - q)|n|^2
Logo
M = l(1,0,1r) - 3,(pq - p - q)(-2q+3)^2 + (-pq+p+q)^2 + (3-p)^2 -2q+3 [3pt] -pq+p+q [3pt] 3-p ]

Resposta

(a) h=raiz(-2q+3)^2 + (-pq+p+q)^2 + (3-p)^2raiz(p-1)^2+5.
(b) (-2q+3)(x-1)+(-pq+p+q)(y-3)+(3-p)(z-1)=0.
(c) M=l(1,0,1r) - 3,(pq - p - q)(-2q+3)^2 + (-pq+p+q)^2 + (3-p)^2 (-2q+3,,-pq+p+q,,3-p)

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