(Matriz de Vandermonde)
Escalone a matriz:
J=[cccc 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 & 8 1 & 3 & 9 & 27 1 & 4 & 16 & 64 ]
a) Reduza até a forma de escada.
b) Conte o número de pivôs.
c) Calcule o posto e a nulidade de J

Passo 1

Temos a matriz de Vandermonde
J= 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 & 8 1 & 3 & 9 & 27 1 & 4 & 16 & 64
e queremos:
a) escalonar até a forma de escada,
b) contar o número de pivôs,
c) calcular posto e nulidade.
Para isso usamos operações elementares de linha, pivotando coluna a coluna da esquerda para a direita.

Passo 2

Eliminação na coluna 1 usando R1 como pivô:
R2 R2 - R1,;R3 R3 - R1,;R4 R4 - R1.
Fica
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 3 & 7 0 & 2 & 8 & 26 0 & 3 & 15 & 63

Passo 3

Eliminação na coluna 2 usando o pivô em posição (2,2)=1:
R3 R3 - 2,R2,;R4 R4 - 3,R2.
Obtemos
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 3 & 7 0 & 0 & 2 & 12 0 & 0 & 6 & 42

Passo 4

Eliminação na coluna 3 usando o pivô em (3,3)=2:
R4 R4 - 3,R3.
A forma de escada final é
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 3 & 7 0 & 0 & 2 & 12 0 & 0 & 0 & 6

Passo 5

Em cada linha não-nula temos um pivô: são 4 pivôs, um em cada coluna principal.
Logo o posto de J é igual ao número de pivôs, isto é, 4.
E a nulidade, dada por dim(ker J)=n-posto=4-4, vale 0.

Resposta

a) A forma de escada é
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 3 & 7 0 & 0 & 2 & 12 0 & 0 & 0 & 6
b) Número de pivôs: 4.
c) Posto (J)=4, nulidade (J)=0.

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