Exercício 8.4:
Sejam P, Q proposiçóes matemáticas. Se v(P)=v(Q), prove que Q se, e somente se, P.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dadas duas proposições P e Q tais que v(P)=v(Q), vale que “ Q se e somente se P”. O conteúdo envolve semântica de proposições, valor-verdade, implicação lógica e equivalência (bicondicional).

Passo 2

Lembramos que a fórmula “ Q se e somente se P” é definida como
(Q to P)wed>= (P to Q)
Para mostrar que essa fórmula tem valor-verdade T sempre que v(P)=v(Q), basta verificar que cada implicação vale T.

Passo 3

Recordamos a regra semântica da implicação: para quaisquer proposições A e B,
v(A to B)=Fsó se v(A)=T e v(B)=F, ó
caso contrário v(Ato B)=T.

Passo 4

Como v(P)=v(Q), há duas situações:
no caso v(P)=v(Q)=T,
v(Qto P)=Tto T=T, v(Pto Q)=Tto T=T;
no caso v(P)=v(Q)=F,
v(Qto P)=Fto F=T, v(Pto Q)=Fto F=T
Em ambos os cenários
vl((Qto P)wed>=(Pto Q)r)=Twed>= T=T

Resposta

Como sob a hipótese v(P)=v(Q) obtemos sempre
vl((Qto P)wed>=(Pto Q)r)=T,
concluímos que
Q se e somente se P
é verdadeiro nessa valoração, ou seja, Q se, e somente se, P.

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