Exercício 8.4:
Sejam
proposiçóes matemáticas. Se
, prove que
se, e somente se,
.
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dadas duas proposições
e
tais que
, vale que “
se e somente se
”. O conteúdo envolve semântica de proposições, valor-verdade, implicação lógica e equivalência (bicondicional).
Passo 2
Lembramos que a fórmula “
se e somente se
” é definida como
Para mostrar que essa fórmula tem valor-verdade
sempre que
, basta verificar que cada implicação vale
.
Passo 3
Recordamos a regra semântica da implicação: para quaisquer proposições
e
,
caso contrário
.
Passo 4
Como
, há duas situações:
no caso ,
no caso
no caso
,
Em ambos os cenários
Resposta
Como sob a hipótese
obtemos sempre
concluímos que
é verdadeiro nessa valoração, ou seja,
se, e somente se,
.