Sejam Bomega=omega1, omega2, omega3 e Bu=u1, u2, u3. Exprima os vetores de Bomega como combinações lineares dos vetores de Bu e empregue a matriz Phi de mudança de base para exprimir o vetor v na base Bu.
Dados:
l omega1=(8,1,0), omega2=(3,0,-5), omega3=(0,5,-3) u1=(3,-2,0), u2=(2,0,3), u3=(0,3,2) v=5 omega1-4 omega2+4 omega3

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
Bomega=omega1,omega2,omega3, Bu=u1,u2,u3
com
omega1=(8,1,0),;omega2=(3,0,-5),;omega3=(0,5,-3),
u1=(3,-2,0),;u2=(2,0,3),;u3=(0,3,2),
e o vetor
v=5,omega1-4,omega2+4,omega3
Queremos expressar cada omegaj como combinação linear dos u's, montar a matriz de mudança de base
Phi de coordenadas em Bomega para coordenadas em Bu, e então obter as coordenadas de v em Bu.

Passo 2

Para cada
isto é, em componentes
Fazendo isso para (j=1,2,3] obtém-se:

Passo 3

A matriz de mudança de base Phi que leva coordenadas em Bomega para coordenadas em Bu tem colunas justamente esses vetores de coeficientes:
Phi = 4 & 3 & 2 -2 & -3 & -3 3 & 2 & 3

Passo 4

No sistema de coordenadas de Bomega, temos v com coordenadas (5,-4,4). Logo suas coordenadas em Bu são
vBu = Phi ,5-44 = 54-23 -43-32 +42-33 =16-1019

Resposta

O vetor v na base Bu é
v = 16,u1 ;-;10,u2;+;19,u3

Exercícios relacionados