Seja S o subespaço vetorial de
constituído dos vetores que atendem à condição
. Construa uma base
para
e, em seguida, construa uma base ortogonal
para esse. subespaço. Finalmente, calcule
ângulo entre
e
.
NOTA: É prudente, antes de concluir cada passo, verificar se estão em S os vetores indicados para compor a base ortogonal e se tais vetores são ortogonais dois a dois.
NOTA: É prudente, antes de concluir cada passo, verificar se estão em S os vetores indicados para compor a base ortogonal e se tais vetores são ortogonais dois a dois.
Passo 1
O subespaço
é definido pela única equação linear
isto é,
O objetivo é (a) encontrar uma base
de
, (b) aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal
e (c) calcular o ângulo entre o segundo vetor de
e o segundo vetor de
.
Passo 2
Resolvendo
podemos tomar
como parâmetros livres. Assim
e uma base natural de
é
com
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt a
.
Defina
Defina
Em seguida
Fazendo as contas chega-se a
Para
obtém-se
Para limpar denominadores, podemos escolher vetores proporcionais que mantêm a ortogonalidade. Defina
Então
é uma base ortogonal de
.
Passo 4
Verificações rápidas:
Passo 5
Calcule o ângulo entre
e
.
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Resposta
Ângulo