Seja S o subespaço vetorial de K^4 constituído dos vetores que atendem à condição (3,-2,2,-1) cdot(x, y, z, t)=0. Construa uma base Bu para S e, em seguida, construa uma base ortogonal B0 para esse. subespaço. Finalmente, calcule o ângulo entre u2 e o2.
NOTA: É prudente, antes de concluir cada passo, verificar se estão em S os vetores indicados para compor a base ortogonal e se tais vetores são ortogonais dois a dois.

Passo 1

O subespaço Ssubseteq K^4 é definido pela única equação linear
(3,-2,2,-1)cdot(x,y,z,t)=0,
isto é,
3x-2y+2z-t=0
O objetivo é (a) encontrar uma base Bu de S, (b) aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal Bo e (c) calcular o ângulo entre o segundo vetor de Bu e o segundo vetor de Bo.

Passo 2

Resolvendo
3x-2y+2z-t=0 Longrightarrow t=3x-2y+2z,
podemos tomar x,y,z como parâmetros livres. Assim
(x,y,z,t) = x,(1,0,0,3)+y,(0,1,0,-2)+z,(0,0,1,2),
e uma base natural de S é
Bu=,u1,u2,u3,
com
u1=(1,0,0,3), u2=(0,1,0,-2), u3=(0,0,1,2)

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt a .
Defina
Em seguida
Fazendo as contas chega-se a
Para
obtém-se
Para limpar denominadores, podemos escolher vetores proporcionais que mantêm a ortogonalidade. Defina
Então
é uma base ortogonal de .

Passo 4

Verificações rápidas:
o1cdot o2=1cdot3+0cdot5+0cdot0+3cdot(-1)=0,
o1cdot o3=1cdot(-3)+0cdot2+0cdot7+3cdot1=0,
o2cdot o3=3cdot(-3)+5cdot2+0cdot7+(-1)cdot1=0

Passo 5

Calcule o ângulo entre u2=(0,1,0,-2) e o2=(3,5,0,-1).
u2cdot o2 =0cdot3+1cdot5+0cdot0+(-2)cdot(-1)=7,
|u2|=raiz0+1+0+4=raiz5, |o2|=raiz9+25+0+1=raiz35
Logo
costheta =u2cdot o2|u2|;|o2| =7raiz5,raiz35 =75raiz7 =raiz75,
theta=arccos!l(tfracraiz75r)

Resposta

Bu=(1,0,0,3),,(0,1,0,-2),,(0,0,1,2)
Bo=(1,0,0,3),,(3,5,0,-1),,(-3,2,7,1)
Ângulo theta=arccosl(tfracraiz75r).

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