Reduza as matrizes abaixo à forma escada e calcule seu posto e a sua nulidade. \left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 2 & -1 & 2 & 2 \\\\ 3 & 1 & 2 & 3\end{array}\right)
Reduzir A à forma escada (forma em escada por linhas).
Calcular o posto (rank) de A.
Calcular a nulidade (dimensão do núcleo) de A.
Informações relevantes dadas:
A matriz tem 3 linhas e 4 colunas.
Para encontrar o posto basta contar o número de pivôs (linhas não-nulas na forma escada).
Para encontrar a nulidade, usarei a relação \text{nulidade}= (nº de colunas) - (posto).]
Passo 2
Breve explicação do método (passo a passo didático):
A forma escada é obtida aplicando operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até que cada linha não-nula tenha um primeiro elemento não-nulo à direita do primeiro elemento não-nulo da linha anterior. Esses primeiros elementos não-nulos são os pivôs.
Cada operação por linha não altera o espaço nulo do sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} (exceto trocar/escala a equação, que mantém as soluções), portanto é seguro manipular linhas para achar pivôs e depois resolver por substituição para o núcleo.
Vou aplicar operações explícitas e mostrar cada matriz intermediária.
Passo 3
Começo a eliminação: uso a primeira linha como pivô para zerar abaixo na coluna 1.
Para evitar muitas frações, multiplicarei a terceira linha por 3 (operação válida que mantém o conjunto de soluções do homogêneo): R_3 \leftarrow 3R_3, obtendo R_3=(0,0,7,-10). A matriz equivalente (ainda em forma escada) é
Há pivôs nas posições (1,1), (2,2) e (3,3) (colunas 1,2,3 respectivamente).
Cada pivô corresponde a uma coluna linearmente independente.
Portanto o número de pivôs é 3, logo o posto de A é
\text{posto}(A)=3.
Passo 6
Cálculo da nulidade usando o Teorema da Dimensão do Núcleo (Teorema da Dimensão para transformações lineares / Teorema da Dimensão da Matriz):
A nulidade é o número de colunas menos o posto.
A matriz tem 4 colunas, então
\text{nulidade}(A)=4-\text{posto}(A)=4-3=1.
Vou, por didática, encontrar uma base explícita do núcleo para confirmar que a nulidade é 1.
Passo 7
Resolução do sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} a partir da forma escada (voltar por substituição):
Escrevendo as equações correspondentes às linhas finais (usando a matriz com R_3=(0,0,7,-10), R_2=(0,3,-4,4), R_1=(1,-2,3,-1)):