Reduza as matrizes abaixo à forma escada e calcule seu posto e a sua nulidade.
\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 2 & -1 & 2 & 2 \\\\ 3 & 1 & 2 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
As tarefas são:
  • Reduzir A à forma escada (forma em escada por linhas).
  • Calcular o posto (rank) de A.
  • Calcular a nulidade (dimensão do núcleo) de A.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz tem 3 linhas e 4 colunas.
  • Para encontrar o posto basta contar o número de pivôs (linhas não-nulas na forma escada).
  • Para encontrar a nulidade, usarei a relação \text{nulidade}= (nº de colunas) - (posto).]

Passo 2

Breve explicação do método (passo a passo didático):
  • A forma escada é obtida aplicando operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até que cada linha não-nula tenha um primeiro elemento não-nulo à direita do primeiro elemento não-nulo da linha anterior. Esses primeiros elementos não-nulos são os pivôs.
  • Cada operação por linha não altera o espaço nulo do sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} (exceto trocar/escala a equação, que mantém as soluções), portanto é seguro manipular linhas para achar pivôs e depois resolver por substituição para o núcleo.
  • Vou aplicar operações explícitas e mostrar cada matriz intermediária.

Passo 3

Começo a eliminação: uso a primeira linha como pivô para zerar abaixo na coluna 1.
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Cálculo das novas linhas:
  • R_2 = (2,-1,2,2) - 2(1,-2,3,-1) = (2-2, -1+4, 2-6, 2+2) = (0,3,-4,4).
  • R_3 = (3,1,2,3) - 3(1,-2,3,-1) = (3-3, 1+6, 2-9, 3+3) = (0,7,-7,6).
Matriz resultante:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -4 & 4\\[4pt] 0 & 7 & -7 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora uso o pivô da segunda linha (o elemento 3 em posição (2,2)) para zerar abaixo na coluna 2.
Faço R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{7}{3}R_2.
Cálculo (mostrando com frações):
  • A segunda linha é R_2=(0,3,-4,4).
  • Multiplicando por \dfrac{7}{3} obtemos \dfrac{7}{3}R_2=(0,7,-\tfrac{28}{3},\tfrac{28}{3}).
  • Então R_3 = (0,7,-7,6) - (0,7,-\tfrac{28}{3},\tfrac{28}{3}) = (0,0,-7 + \tfrac{28}{3}, 6 - \tfrac{28}{3}).
  • Simplificando: -7 + \tfrac{28}{3} = -\tfrac{21}{3} + \tfrac{28}{3} = \tfrac{7}{3}. E 6 - \tfrac{28}{3} = \tfrac{18}{3} - \tfrac{28}{3} = -\tfrac{10}{3}.
Logo a terceira linha fica \bigl(0,0,\tfrac{7}{3}, -\tfrac{10}{3}\bigr).
Matriz agora:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -4 & 4\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{7}{3} & -\tfrac{10}{3} \end{pmatrix}.
Para evitar muitas frações, multiplicarei a terceira linha por 3 (operação válida que mantém o conjunto de soluções do homogêneo): R_3 \leftarrow 3R_3, obtendo R_3=(0,0,7,-10). A matriz equivalente (ainda em forma escada) é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -4 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 7 & -10 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação da forma escada obtida:
  • Há pivôs nas posições (1,1), (2,2) e (3,3) (colunas 1,2,3 respectivamente).
  • Cada pivô corresponde a uma coluna linearmente independente.
Portanto o número de pivôs é 3, logo o posto de A é
\text{posto}(A)=3.

Passo 6

Cálculo da nulidade usando o Teorema da Dimensão do Núcleo (Teorema da Dimensão para transformações lineares / Teorema da Dimensão da Matriz):
  • A nulidade é o número de colunas menos o posto.
  • A matriz tem 4 colunas, então
\text{nulidade}(A)=4-\text{posto}(A)=4-3=1.
Vou, por didática, encontrar uma base explícita do núcleo para confirmar que a nulidade é 1.

Passo 7

Resolução do sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} a partir da forma escada (voltar por substituição):
Escrevendo as equações correspondentes às linhas finais (usando a matriz com R_3=(0,0,7,-10), R_2=(0,3,-4,4), R_1=(1,-2,3,-1)):
Da terceira linha:
7x_3 -10x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = \dfrac{10}{7}x_4.
Da segunda linha:
3x_2 -4x_3 + 4x_4 = 0.
Substituindo x_3:
3x_2 -4\cdot\frac{10}{7}x_4 + 4x_4 = 0
3x_2 + \left(-\frac{40}{7} + \frac{28}{7}\right)x_4 = 0
3x_2 -\frac{12}{7}x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{4}{7}x_4.
Da primeira linha:
x_1 -2x_2 +3x_3 - x_4 = 0.
Substituindo x_2 e x_3:
x_1 -2\cdot\frac{4}{7}x_4 +3\cdot\frac{10}{7}x_4 - x_4 = 0
x_1 +\left(-\frac{8}{7} + \frac{30}{7} -1\right)x_4 = 0
x_1 +\left(\frac{22}{7} - \frac{7}{7}\right)x_4 = 0
x_1 +\frac{15}{7}x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -\frac{15}{7}x_4.
Tomando o parâmetro livre x_4 = 7 (escolha conveniente para eliminar frações), obtemos a solução não-trivial
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}-15\\[2pt]4\\[2pt]10\\[2pt]7\end{pmatrix} t
com t\in\mathbb{R}. Isso mostra explicitamente que o núcleo é gerado por um único vetor — confirmação de que a nulidade é 1.]

Resposta

\text{posto}(A)=3
\text{nulidade}(A)=1

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