Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e esboçar o gráfico da equação: \quad 7 x^{2}-9 y^{2}+28 x+54 y-116=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
7x^{2}-9y^{2}+28x+54y-116=0
e pede:
  • obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos (isto é, colocar na forma padrão da cônica);
  • classificar a cônica;
  • dar os elementos (centro, vértices, focos, semi-eixos, excentricidade, assíntotas, etc.);
  • esboçar o gráfico (ou explicar como esboçá-lo).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • coeficientes dos termos quadráticos: A=7 (para x^{2}) e C=-9 (para y^{2});
  • termos lineares: 28x e 54y;
  • termo constante: -116.

Passo 2

Primeiro passo técnico: agrupar termos em x e termos em y para completar quadrados. Escrevo:
7x^{2}+28x-9y^{2}+54y-116=0.
Coloco em grupos para completar o quadrado:
7\bigl(x^{2}+4x\bigr)-9\bigl(y^{2}-6y\bigr)-116=0.
Explicação didática do “completar o quadrado”: para um polinômio quadrático x^{2}+2px sabe-se que
x^{2}+2px=(x+p)^{2}-p^{2}.
Aqui uso a mesma ideia: para x^{2}+4x note que 4x = 2\cdot 2 x, logo p=2; para y^{2}-6y note que -6y = 2\cdot(-3)y, logo p=-3.

Passo 3

Aplico completar o quadrado aos dois grupos:
x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4, \qquad y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9.
Substituo na equação:
7\bigl((x+2)^{2}-4\bigr)-9\bigl((y-3)^{2}-9\bigr)-116=0.
Agora distribuo e somo constantes:
7(x+2)^{2}-28-9(y-3)^{2}+81-116=0.
Calculo as constantes: -28+81-116=-63. Assim:
7(x+2)^{2}-9(y-3)^{2}-63=0.
Isolo os quadrados à direita:
7(x+2)^{2}-9(y-3)^{2}=63.

Passo 4

Divido ambos os lados por 63 para obter a forma reduzida (padrão) da cônica:
\frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{(y-3)^{2}}{7}=1.
Interpretação da forma: trata-se de uma hipérbole na forma padrão
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
o que indica que a hipérbole tem centro em (h,k), eixo transverso paralelo ao eixo x (porque o sinal positivo está em (x-h)^{2}) e que a^{2}=9,\;b^{2}=7.
Para confirmar a classificação pela regra geral: em uma cônica geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots=0 calcula-se o discriminante \Delta=B^{2}-4AC. Aqui A=7,\;B=0,\;C=-9, então
\Delta=0^{2}-4\cdot7\cdot(-9)=252>0,
o que confirma ser uma hipérbole.

Passo 5

Identifico os parâmetros fundamentais:
\text{Centro: }(h,k)=(-2,3).
Dos denominadores da forma reduzida:
a^{2}=9 \implies a=3,\qquad b^{2}=7 \implies b=\sqrt{7}.
Para hipérbole horizontal, a relação entre a,b,c é
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Logo
c^{2}=9+7=16 \implies c=4.
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{4}{3}.

Passo 6

Agora encontro vértices e focos (movendo-se ao longo do eixo transverso que é horizontal, ou seja, variando x mantendo y=k).
Vértices: (h\pm a,k), então
\text{Vértices: }(-2+3,\,3)=(1,3)\quad\text{e}\quad(-2-3,\,3)=(-5,3).é
Focos: (h\pm c,k), então
\text{Focos: }(-2+4,\,3)=(2,3)\quad\text{e}\quad(-2-4,\,3)=(-6,3).
Comprimentos dos eixos:
\text{eixo transverso: }2a=6,\qquad \text{eixo conjugado (segmento imaginário): }2b=2\sqrt{7}.á

Passo 7

Equações das assíntotas. Para hipérbole na forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 com eixo transverso horizontal, as assíntotas são
y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
Aplicando aos nossos valores:
y-3=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}(x+2).
Estas são as retas-guia que os ramos da hipérbole se aproximam.

Passo 8

Interceptos com os eixos (opcionais, úteis para esboço rápido).
  • Interseção com y=0 (eixo x): substituo y=0 na forma reduzida:
\frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{(0-3)^{2}}{7}=1 \implies \frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{9}{7}=1.
Resolvendo:
\frac{(x+2)^{2}}{9}=1+\frac{9}{7}=\frac{16}{7} \implies (x+2)^{2}=\frac{144}{7}
x+2=\pm\frac{12}{\sqrt{7}}\implies x\approx -2\pm 4{,}535.
Portanto interseções aproximadamente x\approx 2{,}535 e x\approx -6{,}535.
  • Interseção com x=0 (eixo y): substituo x=0:
\frac{4}{9}-\frac{(y-3)^{2}}{7}=1 \implies -\frac{(y-3)^{2}}{7}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9},
o que é impossível (lado esquerdo não pode ser negativo igual a positivo), logo não há interseção real com o eixo y.

Passo 9

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático, para fazer rápido na prova):
  1. Marque o centro (-2,3).
  2. A partir do centro trace o retângulo de “meio-lados” a=3 na direção x e b=\sqrt{7} na direção y. Ou seja, marque os pontos (-2\pm 3,\,3) e (-2,\,3\pm\sqrt{7}) para visualizar o retângulo auxiliar.
  3. Desenhe as diagonais desse retângulo; essas diagonais são exatamente as assíntotas y-3=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}(x+2).
  4. Nos vértices (1,3) e (-5,3) comece os ramos da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, cada ramo contido entre as assíntotas (abraçando-as).
  5. Marque os focos em (2,3) e (-6,3) se quiser indicar posição dos focos.
Observação final motivadora: a técnica principal aqui foi completar quadrados e reconhecer a forma padrão. Com prática esse processo fica rapidinho — dá pra fazer bem numa prova cronometrada.

Resposta

\frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{(y-3)^{2}}{7}=1
Hipérbole (Δ = 252>0).
Centro: (-2,3).
a^{2}=9,\;a=3;\quad b^{2}=7,\;b=\sqrt{7};\quad c^{2}=16,\;c=4.
Vértices: (1,3) e (-5,3).
Focos: (2,3) e (-6,3).
Assíntotas: y-3=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}(x+2).
Excentricidade: e=\dfrac{4}{3}.

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