Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e esboçar o gráfico da equação:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede:
- obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos (isto é, colocar na forma padrão da cônica);
- classificar a cônica;
- dar os elementos (centro, vértices, focos, semi-eixos, excentricidade, assíntotas, etc.);
- esboçar o gráfico (ou explicar como esboçá-lo).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- coeficientes dos termos quadráticos:
(para ) e (para ); - termos lineares:
e ; - termo constante:
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: agrupar termos em
e termos em
para completar quadrados. Escrevo:
Coloco em grupos para completar o quadrado:
Explicação didática do “completar o quadrado”: para um polinômio quadrático
sabe-se que
Aqui uso a mesma ideia: para
note que
, logo
; para
note que
, logo
.
Passo 3
Aplico completar o quadrado aos dois grupos:
Substituo na equação:
Agora distribuo e somo constantes:
Calculo as constantes:
. Assim:
Isolo os quadrados à direita:
Passo 4
Divido ambos os lados por
para obter a forma reduzida (padrão) da cônica:
Interpretação da forma: trata-se de uma hipérbole na forma padrão
o que indica que a hipérbole tem centro em
, eixo transverso paralelo ao eixo
(porque o sinal positivo está em
) e que
.
Para confirmar a classificação pela regra geral: em uma cônica geral
calcula-se o discriminante
. Aqui
, então
o que confirma ser uma hipérbole.
Passo 5
Identifico os parâmetros fundamentais:
Dos denominadores da forma reduzida:
Para hipérbole horizontal, a relação entre
é
Logo
A excentricidade é
Passo 6
Agora encontro vértices e focos (movendo-se ao longo do eixo transverso que é horizontal, ou seja, variando
mantendo
).
Vértices:
, então
Focos:
, então
Comprimentos dos eixos:
Passo 7
Equações das assíntotas. Para hipérbole na forma
com eixo transverso horizontal, as assíntotas são
Aplicando aos nossos valores:
Estas são as retas-guia que os ramos da hipérbole se aproximam.
Passo 8
Interceptos com os eixos (opcionais, úteis para esboço rápido).
- Interseção com
(eixo ): substituo na forma reduzida:
Resolvendo:
Portanto interseções aproximadamente
e
.
- Interseção com
(eixo ): substituo :
o que é impossível (lado esquerdo não pode ser negativo igual a positivo), logo não há interseção real com o eixo
.
Passo 9
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático, para fazer rápido na prova):
- Marque o centro
. - A partir do centro trace o retângulo de “meio-lados”
na direção e na direção . Ou seja, marque os pontos e para visualizar o retângulo auxiliar. - Desenhe as diagonais desse retângulo; essas diagonais são exatamente as assíntotas
. - Nos vértices
e comece os ramos da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, cada ramo contido entre as assíntotas (abraçando-as). - Marque os focos em
e se quiser indicar posição dos focos.
Observação final motivadora: a técnica principal aqui foi completar quadrados e reconhecer a forma padrão. Com prática esse processo fica rapidinho — dá pra fazer bem numa prova cronometrada.
Resposta
Hipérbole (Δ =
).
Centro: .
Vértices: e
.
Focos: e
.
Assíntotas: .
Excentricidade: .
Centro:
Vértices:
Focos:
Assíntotas:
Excentricidade: