Exercício 5 Sejam
.
- Mostre que
satisfaz as propriedades 1, 5, 8 e 9 do exercício (1).
- Faça um esboço do conjunto
.
Passo 1
O enunciado define, para
,
e pede que mostremos que
satisfaz as propriedades 1 (não-negatividade), 5 (definitude), 8 (homogeneidade absoluta) e 9 (desigualdade triangular) de uma norma, e em seguida esbocemos o conjunto
Passo 2
(Propriedade 1 – não-negatividade)
Por definição de valor absoluto, para todo temos
. Logo
Por definição de valor absoluto, para todo
Passo 3
(Propriedade 5 – definitude)
Se então
, o que implica
para todo
, isto é,
para todo
, logo
.
Reciprocamente, se então
.
Se
Reciprocamente, se
Passo 4
(Propriedade 8 – homogeneidade absoluta)
Para todo escalar e todo
,
Para todo escalar
Passo 5
(Propriedade 9 – desigualdade triangular)
Dados , para cada índice
vale
Dados
Tomando o máximo sobre
,
Passo 6
(Esboço de
em
)
O conjunto
O conjunto
é o quadrado fechado de vértices
,
,
,
,
com lados paralelos aos eixos.
com lados paralelos aos eixos.
Resposta
O conjunto
é o quadrado fechado de vértices
alinhado com os eixos.