Exercício 5 Sejam x=(x1, ldots, xn) in R^n e|x|infty=max j in1, ldots, n|xj|.
  1. Mostre que |x|infty satisfaz as propriedades 1, 5, 8 e 9 do exercício (1).
  2. Faça um esboço do conjunto Binfty(0,1)=x in R^2 ;|x|infty <= 1.

Passo 1

O enunciado define, para x=(x1,dots,xn)inR^n,
|x|infty=maxjin1,dots,n|xj|
e pede que mostremos que |cdot|infty satisfaz as propriedades 1 (não-negatividade), 5 (definitude), 8 (homogeneidade absoluta) e 9 (desigualdade triangular) de uma norma, e em seguida esbocemos o conjunto
Binfty(0,1)=xinR^2:|x|infty<=1

Passo 2

(Propriedade 1 – não-negatividade)
Por definição de valor absoluto, para todo j temos |xj|>=0. Logo
|x|infty =maxj|xj|>=0

Passo 3

(Propriedade 5 – definitude)
Se |x|infty=0 então maxj|xj|=0, o que implica |xj|=0 para todo j, isto é, xj=0 para todo j, logo x=0.
Reciprocamente, se x=0 então |x|infty=maxj0=0.

Passo 4

(Propriedade 8 – homogeneidade absoluta)
Para todo escalar alpha e todo x,
|alpha x|infty =maxj|alpha xj| =maxj(|alpha|;|xj|) =|alpha|;maxj|xj| =|alpha|,|x|infty

Passo 5

(Propriedade 9 – desigualdade triangular)
Dados x,yinR^n, para cada índice j vale
|xj+yj|<=|xj|+|yj|
Tomando o máximo sobre j,
|x+y|infty =maxj|xj+yj| <=maxj(|xj|+|yj|) <=maxj|xj|+maxj|yj| =|x|infty+|y|infty

Passo 6

(Esboço de Binfty(0,1) em R^2)
O conjunto
Binfty(0,1)=(x1,x2):max(|x1|,|x2|)<=1
é o quadrado fechado de vértices
(1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1),
com lados paralelos aos eixos.

Resposta

O conjunto Binfty(0,1) é o quadrado fechado de vértices (pm1,pm1) alinhado com os eixos.

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