Exercício 5. Sejam
observações de uma variável
. Responda aos questionamentos abaixo.
(a) O que acontece com a média, moda (assumindo que a moda existe!) e mediana dessas observações, se somarmos (ou subtraírmos) uma constante
a todas as observações? dica: reescreva as observações acima como um novo conjunto de observações
e calcule as medidas para esse novo conjunto.
(b) O que acontece com a média, moda (assumindo que a moda existe!) e mediana dessas observações, se multiplicarmos (ou dividirmos) uma constante
a todas as observações?
© O que acontece com a variância, desvio absoluto médio, e desvio-padrão dessas observações, se somarmos (ou subtrairmos) uma constante
a todas as observações?
(d) O que acontece com a variância, desvio absoluto médio, e desvio-padrão dessas observações, se multiplicarmos (ou dividirmos) uma constante
a todas as observações?
(a) O que acontece com a média, moda (assumindo que a moda existe!) e mediana dessas observações, se somarmos (ou subtraírmos) uma constante
(b) O que acontece com a média, moda (assumindo que a moda existe!) e mediana dessas observações, se multiplicarmos (ou dividirmos) uma constante
© O que acontece com a variância, desvio absoluto médio, e desvio-padrão dessas observações, se somarmos (ou subtrairmos) uma constante
(d) O que acontece com a variância, desvio absoluto médio, e desvio-padrão dessas observações, se multiplicarmos (ou dividirmos) uma constante
Passo 1
Beleza, vamos recortar o que o enunciado tá pedindo e ver o que precisamos. Temos uma amostra
de uma variável aleatória
. Querem saber o que acontece com medidas de tendência central (média, moda e mediana) e medidas de dispersão (variância, desvio absoluto médio e desvio-padrão) quando:
a) somamos/subtraímos uma constante a todos os
;
b) multiplicamos/dividimos por uma constante todos os
.
a) somamos/subtraímos uma constante
b) multiplicamos/dividimos por uma constante
Conteúdo envolvido:
- Definições de média, moda, mediana, variância, desvio absoluto médio e desvio-padrão.
- Propriedades de “translação” (
) e “escala” ( ).
Para resolver, vamos reescrever
(no caso de soma) ou
(no caso de multiplicação) e comparar as fórmulas de
com as de
.
Passo 2
(a) Translação:
.
-
Média:– Teoria: a média é uma soma normalizada; acrescentar
a cada termo soma e, depois de dividir por , dá . -
Moda:
Seé a moda de , isso significa que é o valor que mais se repete. Ao criar , o valor que mais se repete passa a ser .
– Teoria: a moda é apenas o valor mais frequente; traduzindo todos os pontos em, a moda “sobe” em . -
Mediana:
A mediana é o valor central. Ordenando, o elemento do meio é . Em , cada virou , então o elemento central vira .
– Teoria: somar uma constante a todos os dados “desliza” o centro na mesma direção.
Passo 3
(b) Escala:
.
-
Média:– Teoria: média é linear, então fator constante sai da soma.
-
Moda:
Seé o mais frequente, então faz com que seja o valor mais frequente.
– Atenção: se, a moda muda de sinal, mas continua “multiplicada por ”. -
Mediana:
O mesmo raciocínio: o valor centralvira . Se for negativo, além de escalar, inverte a ordem, mas o valor central é .
Passo 4
© Dispersão e translação (
).
-
Variância:
-
Desvio absoluto médio (DAM):
-
Desvio-padrão:
– Teoria geral: medidas de dispersão não mudam quando “deslizamos” todo o conjunto em
, porque as distâncias relativas ao centro continuam as mesmas.
Passo 5
(d) Dispersão e escala (
).
-
Variância:
-
Desvio absoluto médio:
-
Desvio-padrão:
– Teoria: dispersão mede distância ao centro; ao escalar todo mundo por
, as distâncias também escalam em
, e as variâncias em
.
Resposta
(a) Sob
:
– Média
– Moda
– Mediana
– Média
– Moda
– Mediana
(b) Sob
:
– Média
– Moda
– Mediana
– Média
– Moda
– Mediana
© Sob
:
– Variância inalterada:
– Desvio abs. médio inalterado:
– Desvio-padrão inalterado:
– Variância inalterada:
– Desvio abs. médio inalterado:
– Desvio-padrão inalterado:
(d) Sob
:
– Variância escala em :
– Desvio abs. médio escala em :
– Desvio-padrão escala em :
– Variância escala em
– Desvio abs. médio escala em
– Desvio-padrão escala em