Exercício 5. Sejam x1, x2, ldots, xn observações de uma variável X. Responda aos questionamentos abaixo.
(a) O que acontece com a média, moda (assumindo que a moda existe!) e mediana dessas observações, se somarmos (ou subtraírmos) uma constante k a todas as observações? dica: reescreva as observações acima como um novo conjunto de observações y1=x1+k, y2=x2+k, ldots, xn+k e calcule as medidas para esse novo conjunto.
(b) O que acontece com a média, moda (assumindo que a moda existe!) e mediana dessas observações, se multiplicarmos (ou dividirmos) uma constante k a todas as observações?
© O que acontece com a variância, desvio absoluto médio, e desvio-padrão dessas observações, se somarmos (ou subtrairmos) uma constante k a todas as observações?
(d) O que acontece com a variância, desvio absoluto médio, e desvio-padrão dessas observações, se multiplicarmos (ou dividirmos) uma constante k a todas as observações?

Passo 1

Beleza, vamos recortar o que o enunciado tá pedindo e ver o que precisamos. Temos uma amostra de uma variável aleatória . Querem saber o que acontece com medidas de tendência central (média, moda e mediana) e medidas de dispersão (variância, desvio absoluto médio e desvio-padrão) quando:
a) somamos/subtraímos uma constante a todos os ;
b) multiplicamos/dividimos por uma constante todos os .
Conteúdo envolvido:
  1. Definições de média, moda, mediana, variância, desvio absoluto médio e desvio-padrão.
  2. Propriedades de “translação” ( ) e “escala” ( ).
Para resolver, vamos reescrever (no caso de soma) ou (no caso de multiplicação) e comparar as fórmulas de com as de .

Passo 2

(a) Translação: bar y ;=;1nsumi=1^n yi =1nsumi=1^n (xi + k) =1nl(sum xi + n,kr) =bar x + k .
  1. Média:
    – Teoria: a média é uma soma normalizada; acrescentar a cada termo soma e, depois de dividir por , dá .
  2. Moda:
    Se é a moda de , isso significa que é o valor que mais se repete. Ao criar , o valor que mais se repete passa a ser .
    – Teoria: a moda é apenas o valor mais frequente; traduzindo todos os pontos em , a moda “sobe” em .
  3. Mediana:
    A mediana é o valor central. Ordenando , o elemento do meio é . Em , cada virou , então o elemento central vira .
    – Teoria: somar uma constante a todos os dados “desliza” o centro na mesma direção.

Passo 3

(b) Escala: bar y = 1nsumi=1^n k,xi = k,1nsum xi = k,bar x .
  1. Média:
    – Teoria: média é linear, então fator constante sai da soma.
  2. Moda:
    Se é o mais frequente, então faz com que seja o valor mais frequente.
    – Atenção: se , a moda muda de sinal, mas continua “multiplicada por ”.
  3. Mediana:
    O mesmo raciocínio: o valor central vira . Se for negativo, além de escalar, inverte a ordem, mas o valor central é .

Passo 4

© Dispersão e translação ( Var(y) =1nsum (yi-bar y)^2 =1nsum l[(xi+k)-(bar x+k)r]^2 =1nsum (xi - bar x)^2 =Var(x) ).
  1. Variância:
    DAM(y) =1nsum |yi-bar y| =1nsum |(xi+k)-(bar x+k)| =1nsum |xi-bar x| =DAM(x)
  2. Desvio absoluto médio (DAM):
  3. Desvio-padrão:
– Teoria geral: medidas de dispersão não mudam quando “deslizamos” todo o conjunto em , porque as distâncias relativas ao centro continuam as mesmas.

Passo 5

(d) Dispersão e escala ( Var(y) =1nsum (k,xi - k,bar x)^2 =1nsum k^2,(xi-bar x)^2 =k^2,Var(x) ).
  1. Variância:
    DAM(y) =1nsum |k,xi - k,bar x| =1nsum |k|,|xi-bar x| =|k|,DAM(x)
  2. Desvio absoluto médio:
  3. Desvio-padrão:
– Teoria: dispersão mede distância ao centro; ao escalar todo mundo por , as distâncias também escalam em , e as variâncias em .

Resposta

(a) Sob :
– Média
– Moda
– Mediana
(b) Sob :
– Média
– Moda
– Mediana
© Sob :
– Variância inalterada:
– Desvio abs. médio inalterado:
– Desvio-padrão inalterado:
(d) Sob :
– Variância escala em :
– Desvio abs. médio escala em :
– Desvio-padrão escala em :

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