Uma análise de várias amostras de minério extraídas aleatoriamente em certo local revelou os dados que se seguem.
  • Em 90 % havia um elevado teor de cobre.
  • Em 40 % das amostras com elevado teor de cobre havia uma presença significativa de zinco.
  • Em 10 % das amostras sem um elevado teor de cobre havia uma presença significativa de zinco.
  • Em 30 % das amostras com elevado teor de cobre e presença significativa de zinco havia ainda vestígios de ouro.
    Determine a probabilidade de uma amostra escolhida ao acaso revelar:
    a presença simultânea dos três metais;

Passo 1

O enunciado diz que numa análise de amostras de minério temos informações sobre três metais: cobre ©, zinco (Z) e ouro (O). A gente quer achar a probabilidade de uma amostra escolhida ao acaso ter os três metais juntos.
Conteúdo: probabilidade condicional e regra de multiplicação de probabilidades.
O que vamos usar:
  • P©=0{,}9
  • P(Z|C)=0{,}4
  • P(Z|C^c)=0{,}1 (só pra ter à vista, mas não precisamos dela direto)
  • P(O|C∧Z)=0{,}3
  • Regra: P(Acap B)=P(A),P(Bmid A) e para três eventos P(Acap Bcap D)=P(A),P(Bmid A),P(Dmid Acap B)

Passo 2

Vamos chamar:
  • C = “amostra com elevado teor de cobre”
  • Z = “amostra com presença significativa de zinco”
  • O = “amostra com vestígios de ouro”
O que queremos é P(Ccap Zcap O)

Passo 3

Pela regra de multiplicação em cadeia:
P(Ccap Zcap O)=P(C),underbraceP(Zmid C)zinco dado cobre;underbraceP(Omid Ccap Z)ouro dado cobre e zinco
Ou seja, primeiro a chance de ter cobre, depois dentro dessas a chance de ter zinco, e por fim dentro dessas a chance de ter ouro.

Passo 4

Substituindo os valores:
  1. P©=0{,}9
  2. P(Z|C)=0{,}4
  3. P(O|C∧Z)=0{,}3
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P(Ccap Zcap O)=0,9times0,4times0,3=0,108

Resposta

A probabilidade de uma amostra revelar simultaneamente cobre, zinco e ouro é 0{,}108 (ou 10{,}8%).

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