Um lote de 200 peças é aceite se uma amostra de 10 peças (tiradas sem reposição) apresenta 0 ou 1 peça defeituosa. Calcule a probabilidade de aceitar o lote em função do número M (desconhecido) de peças defeituosas.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um lote de 200 peças, das quais M são defeituosas (M é desconhecido). A gente tira uma amostra de 10 peças sem reposição e só aceita o lote se nessa amostra aparecerem 0 ou 1 peças defeituosas. O conteúdo aqui é Distribuição Hipergeométrica, e vamos usar combinações para calcular a probabilidade de 0 e de 1 defeito na amostra.

Passo 2

Primeiro, a teoria: quando você tira P(X = k) ;=; binomMk,binomN - Mn - kbinomNn itens sem reposição de um total que contém “sucessos” (no nosso caso, peças defeituosas), a probabilidade de tirar exatamente sucessos é dada por
Aqui:
  • (peças totais),
  • defectuosas,
  • (tamanho da amostra),
  • = número de defeituosas na amostra.

Passo 3

A gente só aceita o lote se P(aceitar) = P(X = 0) + P(X = 1) ou . Então a probabilidade de aceitar é

Passo 4

Agora expressa cada termo pela fórmula:
  1. Para P(X = 0) = binomM0,binom200 - M10binom20010 = 1 ,cdot, binom200 - M10binom20010 :
P(X = 1) = binomM1,binom200 - M9binom20010 = M ,cdot, binom200 - M9binom20010
  1. Para :

Resposta

boxedP(aceitar) = binom200 - M10binom20010 ;+; M,binom200 - M9binom20010

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