Exercício 9 Sempre que possivel, calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
[cccc1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 2 & 1 1 & -1 & 1 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
A = 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 2 & 1 1 & -1 & 1 & 0
O conteúdo aqui é inversão de matrizes pelo método de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada l[Amid Ir] e aplicamos operações elementares até obter l[Imid A^-1r].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada l[Amid Ir]:
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Zeramos a coluna 1 abaixo de R1 fazendo
R3 R3 - R1 e R4 R4 - R1. O resultado é
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Zeramos a coluna 2 em R4 somando R2:
R4 R4 + R2. Agora temos pivô 1 em (4,4):
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 ]

Passo 5

Usamos o pivô em (4,4) para zerar a coluna 4 em R2 e R3:
R2 R2 - R4, R3 R3 - R4
O resultado é
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 ]

Passo 6

Por fim, usamos o pivô em (3,3) para zerar a coluna 3 em R1:
R1 R1 - R3,
obtendo
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 1 ]
Agora à esquerda está I4 e à direita está A^-1.

Resposta

A^-1 = 1 & 1 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & -1 0 & -1 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 & 1

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