Exercício 9 Sempre que possivel, calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
[llll1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 1
Estamos em Álgebra Linear, mais especificamente em inversão de matrizes triangulares. Vamos usar que, para matriz triangular superior com todos os pivôs iguais a 1, podemos escrever A = I + N, onde N é estritamente triangular superior e nilpotente, e usar a série finita
A^-1 = (I+N)^-1 = I - N + N^2 - N^3 + dots
sabendo que N^4 = 0.

Passo 2

Definimos
N = A - I = 0 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0
Note que N é nilpotente de ordem 4 (ou seja, N^4 = 0), pois já na quarta potência todas as somas de caminhos passam por uma diagonal fora da matriz.

Passo 3

Pela fórmula da série de Neumann para matrizes nilpotentes, temos
A^-1 = I - N + N^2 - N^3

Passo 4

Vamos calcular N^2 e N^3:
N^2 = 0 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 4 & 12 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ,
N^3 = N^2cdot N = 0 & 0 & 4 & 12 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 0 & 8 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Agora somamos termo a termo em
A^-1 = I - N + N^2 - N^3
No detalhe das posições acima da diagonal, obtém-se:
  • Na posição (1,2): 0 - 2 + 0 - 0 = -2.
  • Na (1,3): 0 - 3 + 4 - 0 = 1.
  • Na (1,4): 0 - 4 +12 - 8 = 0.
  • Na (2,3): 0 - 2 + 0 - 0 = -2.
  • Na (2,4): 0 - 3 + 4 - 0 = 1.
  • Na (3,4): 0 - 2 + 0 - 0 = -2.

Resposta

A^-1 = 1 & -2 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 1

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