Exercício 9 Sempre que possivel, calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
O enunciado pede a inversa da matriz
Estamos em Álgebra Linear, mais especificamente em inversão de matrizes triangulares. Vamos usar que, para matriz triangular superior com todos os pivôs iguais a
1 , podemos escrever
A = I + N , onde
N é estritamente triangular superior e nilpotente, e usar a série finita
sabendo que
N^4 = 0 .
Passo 2
Definimos
Note que
N é nilpotente de ordem
4 (ou seja,
N^4 = 0 ), pois já na quarta potência todas as somas de caminhos passam por uma diagonal fora da matriz.
Passo 3
Pela fórmula da série de Neumann para matrizes nilpotentes, temos
Passo 4
Vamos calcular
N^2 e
N^3 :
Passo 5
Agora somamos termo a termo em
No detalhe das posições acima da diagonal, obtém-se:
- Na posição
:(1,2) .0 - 2 + 0 - 0 = -2 - Na
:(1,3) .0 - 3 + 4 - 0 = 1 - Na
:(1,4) .0 - 4 +12 - 8 = 0 - Na
:(2,3) .0 - 2 + 0 - 0 = -2 - Na
:(2,4) .0 - 3 + 4 - 0 = 1 - Na
:(3,4) .0 - 2 + 0 - 0 = -2