Exercício 1) Sendo \gamma=C_{P} faça um esboço de \gamma indicando a orientação determinada pela parametrização dada. Reparametrize de maneira a obter -\gamma, nos seguintes casos:
P(t)=(2 \cos t, 2 \operatorname{sen} t, 2 \cos t), \operatorname{com}(\mathrm{i}) t \in\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right] ; (ii) t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\gamma(t)=\bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;2\cos t\bigr)
e pede que façamos um esboço indicando a orientação natural (quando t cresce) e, em seguida, que reparametrizemos para obter -\gamma nos casos
(i) t\in\bigl[\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2\bigr] e
(ii) t\in[0,2\pi].
O conteúdo é curvas no espaço e reparametrização de orientação inversa.

Passo 2

Para entender a forma de \gamma, note que
x^2+y^2=(2\cos t)^2+(2\sin t)^2=4 \quad\text{e}\quad z=2\cos t=x.
Isso é a interseção do cilindro x^2+y^2=4 com o plano z=x, uma “circunferência de raio 2” contida em um plano inclinado.
(i) Se t vai de \tfrac\pi2 a \tfrac{3\pi}2, percorremos apenas o lado esquerdo dessa circunferência, de \bigl(0,2,0\bigr) em t=\tfrac\pi2 até \bigl(0,-2,0\bigr) em t=\tfrac{3\pi}2,
com seta apontando de cima para baixo.

Passo 3

Para inverter a orientação em (i) mantemos o mesmo intervalo mas trocamos t\mapsto 2\pi-t. Definimos
\tilde\gamma(t) =\gamma(2\pi-t) =\bigl(2\cos(2\pi-t),\,2\sin(2\pi-t),\,2\cos(2\pi-t)\bigr), \quad t\in\bigl[\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2\bigr].
Como \cos(2\pi-t)=\cos t e \sin(2\pi-t)=-\sin t, pode-se ainda escrever
\tilde\gamma(t) =\bigl(2\cos t,\,-2\sin t,\,2\cos t\bigr), \quad t\in\bigl[\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2\bigr],
que é exatamente -\gamma com orientação invertida.

Passo 4

(ii) Quando t\in[0,2\pi] percorremos a circunferência inteira, começando em (2,0,2) e voltando lá. Para inverter a orientação definimos analogamente
\hat\gamma(t) =\gamma(2\pi-t) =\bigl(2\cos(2\pi-t),\,2\sin(2\pi-t),\,2\cos(2\pi-t)\bigr), \quad t\in[0,2\pi],
que de novo, usando \sin(2\pi-t)=-\sin t, fica
\hat\gamma(t) =\bigl(2\cos t,\,-2\sin t,\,2\cos t\bigr), \quad t\in[0,2\pi].

Resposta

(i) \displaystyle \tilde\gamma(t)=\bigl(2\cos(2\pi-t),\,2\sin(2\pi-t),\,2\cos(2\pi-t)\bigr),\;t\in\bigl[\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2\bigr], equivalently \bigl(2\cos t,\,-2\sin t,\,2\cos t\bigr).
(ii) \displaystyle \hat\gamma(t)=\bigl(2\cos(2\pi-t),\,2\sin(2\pi-t),\,2\cos(2\pi-t)\bigr),\;t\in[0,2\pi], equivalently \bigl(2\cos t,\,-2\sin t,\,2\cos t\bigr).

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