Exercício 1) Sendo
faça um esboço de
indicando a orientação determinada pela parametrização dada. Reparametrize de maneira a obter
, nos seguintes casos:
(ii)
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede que façamos um esboço indicando a orientação natural (quando
cresce) e, em seguida, que reparametrizemos para obter
nos casos
(i) e
(ii) .
O conteúdo é curvas no espaço e reparametrização de orientação inversa.
(i)
(ii)
O conteúdo é curvas no espaço e reparametrização de orientação inversa.
Passo 2
Para entender a forma de
, note que
Isso é a interseção do cilindro
com o plano
, uma “circunferência de raio 2” contida em um plano inclinado.
(i) Se vai de
a
, percorremos apenas o lado esquerdo dessa circunferência, de
em
até
em
,
com seta apontando de cima para baixo.
(i) Se
com seta apontando de cima para baixo.
Passo 3
Para inverter a orientação em (i) mantemos o mesmo intervalo mas trocamos
. Definimos
Como
e
, pode-se ainda escrever
que é exatamente
com orientação invertida.
Passo 4
(ii) Quando
percorremos a circunferência inteira, começando em
e voltando lá. Para inverter a orientação definimos analogamente
que de novo, usando
, fica
Resposta
(i)
, equivalently
.
(ii) , equivalently
.
(ii)