Exercício 1) Sendo \gamma=C_{P} faça um esboço de \gamma indicando a orientação determinada pela parametrização dada. Reparametrize de maneira a obter -\gamma, nos seguintes casos:
P(t)=(3+ cost, 2+ sent ), com (i) t \in\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]; (ii) t \in[0,2 \pi];

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\gamma(t)=\bigl(3+\cos t,\;2+\sin t\bigr)
que é um círculo de centro (3,2) e raio 1. Queremos esboçar essa curva mostrando a orientação induzida pelo aumento de t, e depois reparametrizar para obter a mesma curva com orientação contrária, ou seja, -\gamma.

Passo 2

Caso (i): t\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr].
  • Em t=\tfrac{\pi}{2} temos \gamma\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(3,3) (ponto superior).
  • Em t=\pi temos \gamma(\pi)=(2,2) (ponto mais à esquerda).
  • Em t=\tfrac{3\pi}{2} temos \gamma\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=(3,1) (ponto inferior).
    Isso descreve o semicírculo esquerdo do círculo, indo do ponto (3,3) para (3,1) ao longo da órbita CCW (no sentido anti-horário) passando por (2,2).

Passo 3

Para inverter a orientação num intervalo [a,b] usamos a reparametrização
-\gamma(t)=\gamma\bigl(a+b-t\bigr).
Aqui a=\tfrac{\pi}{2}, b=\tfrac{3\pi}{2}, então a+b=2\pi. Definindo
\widetilde\gamma(t)=\gamma\bigl(2\pi - t\bigr) \quad\text{para }t\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr],
obtém-se o mesmo semicírculo indo de (3,1) para (3,3) (sentido horário). Como
\cos(2\pi - t)=\cos t, \quad \sin(2\pi - t)=-\sin t,
podemos escrever
\widetilde\gamma(t) =\bigl(3+\cos t,\;2-\sin t\bigr), \quad t\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr].

Passo 4

Caso (ii): t\in[0,2\pi].
  • Em t=0 partimos de (4,2).
  • À medida que t cresce até 2\pi, percorremos o círculo inteiro no sentido anti-horário, voltando a (4,2) em t=2\pi.

Passo 5

Aplicando a mesma fórmula de inversão no intervalo [0,2\pi], definimos
\widehat\gamma(t)=\gamma\bigl(2\pi - t\bigr), \quad t\in[0,2\pi],
que percorre o círculo no sentido horário. Em forma explícita, usando as identidades trigonométricas anteriores,
\widehat\gamma(t) =\bigl(3+\cos t,\;2-\sin t\bigr), \quad t\in[0,2\pi].

Resposta

(i) Para t\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr],
-\gamma(t)=\bigl(3+\cos t,\;2-\sin t\bigr).
(ii) Para t\in[0,2\pi],
-\gamma(t)=\bigl(3+\cos t,\;2-\sin t\bigr).

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