Exercício 1) Sendo
faça um esboço de
indicando a orientação determinada pela parametrização dada. Reparametrize de maneira a obter
, nos seguintes casos:
cost,
sent
, com (i)
; (ii)
;
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
que é um círculo de centro
e raio
. Queremos esboçar essa curva mostrando a orientação induzida pelo aumento de
, e depois reparametrizar para obter a mesma curva com orientação contrária, ou seja,
.
Passo 2
Caso (i):
.
- Em
temos (ponto superior). - Em
temos (ponto mais à esquerda). - Em
temos (ponto inferior).
Isso descreve o semicírculo esquerdo do círculo, indo do pontopara ao longo da órbita CCW (no sentido anti-horário) passando por .
Passo 3
Para inverter a orientação num intervalo
usamos a reparametrização
Aqui
,
, então
. Definindo
obtém-se o mesmo semicírculo indo de
para
(sentido horário). Como
podemos escrever
Passo 4
Caso (ii):
.
- Em
partimos de . - À medida que
cresce até , percorremos o círculo inteiro no sentido anti-horário, voltando a em .
Passo 5
Aplicando a mesma fórmula de inversão no intervalo
, definimos
que percorre o círculo no sentido horário. Em forma explícita, usando as identidades trigonométricas anteriores,
Resposta
(i) Para
,
(ii) Para
,