If
is a positive integer, find two linearly independent solutions of
x y^{\prime \prime}-(x+n) y^{\prime}+n y=0
x y^{\prime \prime}-(x+n) y^{\prime}+n y=0
Passo 1
O enunciado pede duas soluções linearmente independentes da equação
onde
é inteiro positivo. Esse é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. A estratégia será: (i) tentar um ansatz simples para encontrar uma solução elementar; (ii) aplicar redução de ordem para obter a segunda solução.
Passo 2
Para achar a primeira solução, tentamos
Então
Substituindo em
vem
Logo,
é de fato uma solução.
Passo 3
Para encontrar a segunda solução usamos redução de ordem. Primeiro colocamos a equação na forma
Dividindo por
,
logo
A fórmula de redução de ordem dá
Passo 4
Calculamos
portanto
Logo
Passo 5
Para
usamos integração por partes repetidas. O resultado é
Assim
onde, desprezando a constante que daria múltiplo de
, definimos o polinômio
Passo 6
Reindexando
, obtemos a forma mais usual
Portanto a segunda solução independentemente é
Resposta
As duas soluções linearmente independentes são