If n is a positive integer, find two linearly independent solutions of
x y^{\prime \prime}-(x+n) y^{\prime}+n y=0

Passo 1

O enunciado pede duas soluções linearmente independentes da equação
x\,y''-(x+n)\,y'+n\,y=0,
onde n é inteiro positivo. Esse é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. A estratégia será: (i) tentar um ansatz simples para encontrar uma solução elementar; (ii) aplicar redução de ordem para obter a segunda solução.

Passo 2

Para achar a primeira solução, tentamos
y_1(x)=e^x.
Então
y_1'=e^x,\quad y_1''=e^x.
Substituindo em
x\,y''-(x+n)\,y'+n\,y=0
vem
x e^x-(x+n)e^x+n e^x = e^x\bigl(x-x-n+n\bigr)=0.
Logo,
y_1(x)=e^x
é de fato uma solução.

Passo 3

Para encontrar a segunda solução usamos redução de ordem. Primeiro colocamos a equação na forma
y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0.
Dividindo por x,
y''-\Bigl(1+\frac{n}{x}\Bigr)y'+\frac{n}{x}y=0,
logo
p(x)=-\Bigl(1+\frac{n}{x}\Bigr).
A fórmula de redução de ordem dá
y_2(x)=y_1(x)\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_1(x)^2}\,dx.

Passo 4

Calculamos
\int p(x)\,dx =\int\Bigl(-1-\frac{n}{x}\Bigr)dx =-x-n\ln x,
portanto
e^{-\int p(x)\,dx} =e^{\,x+n\ln x} =x^n e^x.
Logo
y_2(x) =e^x\int \frac{x^n e^x}{(e^x)^2}\,dx =e^x\int x^n e^{-x}\,dx.

Passo 5

Para \displaystyle\int x^n e^{-x}dx usamos integração por partes repetidas. O resultado é
\int x^n e^{-x}dx =-e^{-x}\sum_{j=0}^{n}\frac{n!}{(n-j)!}x^{\,n-j}+C.
Assim
y_2(x) =e^x\Bigl(-e^{-x}P_n(x)\Bigr) =-P_n(x),
onde, desprezando a constante que daria múltiplo de y_1, definimos o polinômio
P_n(x) =\sum_{j=0}^{n}\frac{n!}{(n-j)!}\,x^{\,n-j}.

Passo 6

Reindexando k=n-j, obtemos a forma mais usual
P_n(x) =\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!}\,x^k.
Portanto a segunda solução independentemente é
y_2(x)=P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!}\,x^k.

Resposta

As duas soluções linearmente independentes são
y_1(x)=e^x, \quad y_2(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!}\,x^k.

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