Exercício 1.2.5 Sendo A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\\\ 2 & -3 & -5 \\\\ -1 & 3 & -3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -2 \\\\ 1 & 2 & -4 \\\\ 2 & 2 & -3\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
k) 5 A B-3 B A;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
5AB \;-\; 3BA
sendo
A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3\\\\ 2 & -3 & -5\\\\ -1 & 3 & -3 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} -2 & 1 & -2\\\\ 1 & 2 & -4\\\\ 2 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
Vamos usar multiplicação de matrizes para obter AB e BA, depois escalar cada um e subtrair.

Passo 2

Calcular AB. Cada entrada (AB)_{ij} é o produto escalar da linha i de A pela coluna j de B. O resultado é
AB = \begin{pmatrix} 10 & 9 & -15\\\\ -17 & -14 & 23\\\\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Multiplicar AB por 5:
5AB = 5\cdot\begin{pmatrix} 10 & 9 & -15\\\\ -17 & -14 & 23\\\\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 & 45 & -75\\\\ -85 & -70 & 115\\\\ -5 & -5 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular BA. Cada entrada (BA)_{ij} é o produto escalar da linha i de B pela coluna j de A. O resultado é
BA = \begin{pmatrix} 6 & -13 & -5\\\\ 7 & -16 & 5\\\\ 5 & -11 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 5

Multiplicar BA por 3:
3BA = 3\cdot\begin{pmatrix} 6 & -13 & -5\\\\ 7 & -16 & 5\\\\ 5 & -11 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & -39 & -15\\\\ 21 & -48 & 15\\\\ 15 & -33 & 15 \end{pmatrix}.

Passo 6

Fazer a subtração 5AB - 3BA elemento a elemento:
5AB - 3BA = \begin{pmatrix} 50 & 45 & -75\\\\ -85 & -70 & 115\\\\ -5 & -5 & -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 18 & -39 & -15\\\\ 21 & -48 & 15\\\\ 15 & -33 & 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50-18 & 45-(-39) & -75-(-15)\\\\ -85-21 & -70-(-48) & 115-15\\\\ -5-15 & -5-(-33) & -5-15 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 32 & 84 & -60\\\\ -106 & -22 & 100\\\\ -20 & 28 & -20 \end{pmatrix}.

Resposta

5AB - 3BA = \begin{pmatrix} 32 & 84 & -60\\\\ -106 & -22 & 100\\\\ -20 & 28 & -20 \end{pmatrix}.

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