Exercício 1.2.6 Determine os valores de a, b, c ed, caso existam, para que a sentença
\left[\begin{array}{cc} a+1 & b-3 \\\\ 3 c-4 & 5-d \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc} 2+3 a & 2 b+3 \\\\ 2 c-1 & 4+5 d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar os escalares a, b, c e d de modo que a soma de duas matrizes 2\times2 seja igual a uma dada. O conteúdo é soma de matrizes, que se resolve igualando entrada a entrada e montando um sistema de equações lineares.

Passo 2

Somando entrada a entrada temos
\begin{pmatrix} (a+1)+(2+3a) & (b-3)+(2b+3) \\[6pt] (3c-4)+(2c-1) & (5-d)+(4+5d) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[3pt] 2 & 3 \end{pmatrix}.
Logo as igualdades são
4a+3=2,\quad 3b=4,\quad 5c-5=2,\quad 4d+9=3.]

Passo 3

Resolver 4a+3=2. Subtraindo 3 de ambos os lados:
4a = 2 - 3 = -1
e portanto
a = -\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Resolver 3b=4. Basta dividir por 3:
b = \tfrac{4}{3}.

Passo 5

Resolver 5c-5=2. Somando 5 aos dois lados:
5c = 2 + 5 = 7
e daí
c = \tfrac{7}{5}.

Passo 6

Resolver 4d+9=3. Subtraindo 9 de ambos os lados:
4d = 3 - 9 = -6
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d = -\tfrac{6}{4} = -\tfrac{3}{2}.

Resposta

a = -\tfrac{1}{4},\quad b = \tfrac{4}{3},\quad c = \tfrac{7}{5},\quad d = -\tfrac{3}{2}.

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