Exercício 1.2.5 Sendo A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\\\ 2 & -3 & -5 \\\\ -1 & 3 & -3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -2 \\\\ 1 & 2 & -4 \\\\ 2 & 2 & -3\end{array}\right], efetue cada uma das operações a seguir.
l) A^{2}+2 A B+B^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma de matrizes
A^{2} + 2AB + B^{2}
sendo
A=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 3\\\\ 2 & -3 & -5\\\\ -1 & 3 & -3 \end{array}\right] \quad\text{e}\quad B=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & -2\\\\ 1 & 2 & -4\\\\ 2 & 2 & -3 \end{array}\right].
Para isso vamos usar definição de multiplicação de matrizes, multiplicação por escalar e soma de matrizes.

Passo 2

Calcular A^{2}=A\cdot A. Aplicando a regra de produto linha por coluna obtém-se
A^{2}=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -22\\\\ -3 & -2 & 36\\\\ 10 & -20 & -9 \end{array}\right].

Passo 3

Calcular AB e depois 2AB. Fazendo A\cdot B e em seguida multiplicando cada entrada por 2, temos
AB=\left[\begin{array}{ccc} 10 & 9 & -15\\\\ -17 & -14 & 23\\\\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right] \quad\Rightarrow\quad 2AB=\left[\begin{array}{ccc} 20 & 18 & -30\\\\ -34 & -28 & 46\\\\ -2 & -2 & -2 \end{array}\right].

Passo 4

Calcular B^{2}=B\cdot B. Novamente aplicando produto linha por coluna, obtém-se
B^{2}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 6\\\\ -8 & -3 & 2\\\\ -8 & 0 & -3 \end{array}\right].

Passo 5

Somar as três matrizes obtidas, entrada a entrada:
A^{2}+2AB+B^{2} =\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -22\\\\ -3 & -2 & 36\\\\ 10 & -20 & -9 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc} 20 & 18 & -30\\\\ -34 & -28 & 46\\\\ -2 & -2 & -2 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 6\\\\ -8 & -3 & 2\\\\ -8 & 0 & -3 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 23 & 15 & -46\\\\ -45 & -33 & 84\\\\ 0 & -22 & -14 \end{array}\right].

Resposta

A^{2} + 2AB + B^{2} = \left[\begin{array}{ccc} 23 & 15 & -46\\\\ -45 & -33 & 84\\\\ 0 & -22 & -14 \end{array}\right].

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