1^{\circ} ) Determine as integrais indefinidas .
\int\left(5 x^{4}+3 x-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(5 x^{4} + 3 x - 1\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração de polinômios, e vamos usar a linearidade da integral e a regra do poder, que diz
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, separamos em três integrais:
\int\bigl(5 x^{4} + 3 x - 1\bigr)\,dx = \int 5 x^{4}\,dx \;+\;\int 3 x\,dx \;-\;\int 1\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int 5 x^{4}\,dx, tiramos a constante 5 para fora:
5\int x^{4}\,dx.
Pela regra do poder,
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5},
logo
5\int x^{4}\,dx = 5\cdot\frac{x^{5}}{5} = x^{5}.

Passo 4

Para \displaystyle \int 3 x\,dx, tiramos a constante 3:
3\int x\,dx.
Como
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},
temos
3\int x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{3 x^{2}}{2}.

Passo 5

Para \displaystyle \int 1\,dx, reconhecemos que
\int 1\,dx = x.

Passo 6

Juntando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(5 x^{4} + 3 x - 1\bigr)\,dx = x^{5} + \frac{3 x^{2}}{2} - x + C.

Resposta

x^{5} + \frac{3 x^{2}}{2} - x + C.

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