Exercício 9.5 A radiação cósmica de fundo de 3 K é a energia residual dos eventos que ocorreram quando o universo estava em uma etapa inicial de seu desenvolvimento. Considerando que a quantidade de energia associada com qualquer radiação é linearmente proporcional à frequência da radiação e que a energia associada com uma onda de rádio de 10^{6} \mathrm{~Hz} é de 6,6 \times 10^{-28} \mathrm{~J}, qual é a frequência da radiação cósmica de fundo? Assuma que a energia da radiação pode ser aproximada por k_{B} T, onde T=3,0 \mathrm{~K} (de onde o nome dado a essa radiação).

Passo 1

O que o exercício pede: encontrar a frequência da radiação cósmica de fundo (CMB) dada a aproximação de que a energia associada à radiação é linearmente proporcional à frequência e que a energia típica da CMB pode ser aproximada por k_{B}T com T=3{,}0\\ \mathrm{K}.
Informações fornecidas (do enunciado):
  • A energia de uma onda de rádio com frequência 10^{6}\\ \mathrm{Hz} é 6{,}6\times10^{-28}\\ \mathrm{J}.
  • A energia da CMB pode ser aproximada por k_{B}T, com T=3{,}0\\ \mathrm{K}.
  • Valor do que chamaremos de constante de proporcionalidade entre energia e frequência obtido a partir do dado da rádio (vai aparecer nos passos seguintes).
Nada mais é pedido; a resposta será a frequência numérica em hertz da radiação cósmica de fundo.

Passo 2

Entender a proporcionalidade e definir a constante.
A hipótese do enunciado diz que a energia E associada à radiação é linearmente proporcional à frequência f. Escrevemos isso como
E = C \, f,
onde C é a constante de proporcionalidade (tem unidades de \mathrm{J\cdot s}, porque E está em joules e f em hertz = \mathrm{s^{-1}}).
Podemos determinar C usando o dado da onda de rádio: para f_{\text{rádio}} = 10^{6}\\ \mathrm{Hz}á temos E_{\text{rádio}} = 6{,}6\times10^{-28}\\ \mathrm{J}á. Logo
C = \frac{E_{\text{rádio}}}{f_{\text{rádio}}} = \frac{6{,}6\times10^{-28}}{10^{6}}.áá

Passo 3

Calcular a constante C explicitamente e interpretar unidades.
Fazendo a divisão de potências de dez:
C = 6{,}6\times10^{-28}\,/\,10^{6} = 6{,}6\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Comentário didático curto: essa constante C é numericamente muito próxima do chamado constante de Planck h (que aparece na relação quântica E=h f). Aqui o enunciado nos dá um valor equivalente, então seguiremos usando C=6{,}6\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.

Passo 4

Explicar a aproximação E_{\text{CMB}}\approx k_{B}T e valor de k_{B}.
A aproximação dada é que a energia típica por modo térmico é da ordem de k_{B}T, onde k_{B} é a constante de Boltzmann. Usaremos
k_{B} = 1{,}38\times10^{-23}\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}},
e T=3{,}0\\ \mathrm{K}. Portanto a energia típica da CMB é
E_{\text{CMB}} \approx k_{B}T = 1{,}38\times10^{-23}\times 3{,}0.

Passo 5

Calcular numericamente E_{\text{CMB}}.
Multiplicando:
E_{\text{CMB}} = 1{,}38\times10^{-23}\cdot 3{,}0 = 4{,}14\times10^{-23}\\ \mathrm{J}.
(Verifique: multiplicamos o coeficiente 1{,}38 por 3{,}0 para obter 4{,}14 e mantivemos a potência de dez.)

Passo 6

Usar a relação E = C f para obter a frequência da CMB.
Reescrevendo para f:
f_{\text{CMB}} = \frac{E_{\text{CMB}}}{C}.
Substituindo os valores numéricos que já calculamos:
f_{\text{CMB}} = \frac{4{,}14\times10^{-23}}{6{,}6\times10^{-34}}.

Passo 7

Fazer a divisão com cuidado nas ordens de grandeza.
Separe a parte numérica da potência de dez:
\frac{4{,}14\times10^{-23}}{6{,}6\times10^{-34}} = \left(\frac{4{,}14}{6{,}6}\right)\times10^{-23-(-34)}.
Calcule a potência de dez:
10^{-23-(-34)} = 10^{11}.
Calcule a razão numérica:
\frac{4{,}14}{6{,}6} \approx 0{,}6272727\ldots
Portanto
f_{\text{CMB}} \approx 0{,}62727\times10^{11} = 6{,}2727\times10^{10}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Arredondamento e interpretação final.
Os dados originais (por exemplo 6{,}6\times10^{-28} e T=3{,}0) têm cerca de 2 algarismos significativos, então é razoável apresentar a resposta com 2 algarismos significativos:
f_{\text{CMB}} \approx 6{,}3\times10^{10}\\ \mathrm{Hz},
ou seja, aproximadamente 63\\ \mathrm{GHz}. Unidade conferida: dividimos joules por joule·segundo e obtivemos \mathrm{s^{-1}}, que é hertz, então as unidades estão corretas.

Resposta

6{,}3\times10^{10}\\ \mathrm{Hz}

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