Exercício 9.5 A radiação cósmica de fundo de 3 K é a energia residual dos eventos que ocorreram quando o universo estava em uma etapa inicial de seu desenvolvimento. Considerando que a quantidade de energia associada com qualquer radiação é linearmente proporcional à frequência da radiação e que a energia associada com uma onda de rádio de
é de
, qual é a frequência da radiação cósmica de fundo? Assuma que a energia da radiação pode ser aproximada por
, onde
(de onde o nome dado a essa radiação).
Passo 1
O que o exercício pede: encontrar a frequência da radiação cósmica de fundo (CMB) dada a aproximação de que a energia associada à radiação é linearmente proporcional à frequência e que a energia típica da CMB pode ser aproximada por
com
.
Informações fornecidas (do enunciado):
- A energia de uma onda de rádio com frequência
é . - A energia da CMB pode ser aproximada por
, com . - Valor do que chamaremos de constante de proporcionalidade entre energia e frequência obtido a partir do dado da rádio (vai aparecer nos passos seguintes).
Nada mais é pedido; a resposta será a frequência numérica em hertz da radiação cósmica de fundo.
Passo 2
Entender a proporcionalidade e definir a constante.
A hipótese do enunciado diz que a energia
associada à radiação é linearmente proporcional à frequência
. Escrevemos isso como
onde
é a constante de proporcionalidade (tem unidades de
, porque
está em joules e
em hertz
).
Podemos determinar
usando o dado da onda de rádio: para
temos
. Logo
Passo 3
Calcular a constante
explicitamente e interpretar unidades.
Fazendo a divisão de potências de dez:
Comentário didático curto: essa constante
é numericamente muito próxima do chamado constante de Planck
(que aparece na relação quântica
). Aqui o enunciado nos dá um valor equivalente, então seguiremos usando
.
Passo 4
Explicar a aproximação
e valor de
.
A aproximação dada é que a energia típica por modo térmico é da ordem de
, onde
é a constante de Boltzmann. Usaremos
e
. Portanto a energia típica da CMB é
Passo 5
Calcular numericamente
.
Multiplicando:
(Verifique: multiplicamos o coeficiente
por
para obter
e mantivemos a potência de dez.)
Passo 6
Usar a relação
para obter a frequência da CMB.
Reescrevendo para
:
Substituindo os valores numéricos que já calculamos:
Passo 7
Fazer a divisão com cuidado nas ordens de grandeza.
Separe a parte numérica da potência de dez:
Calcule a potência de dez:
Calcule a razão numérica:
Portanto
Passo 8
Arredondamento e interpretação final.
Os dados originais (por exemplo
e
) têm cerca de 2 algarismos significativos, então é razoável apresentar a resposta com 2 algarismos significativos:
ou seja, aproximadamente
. Unidade conferida: dividimos joules por joule·segundo e obtivemos
, que é hertz, então as unidades estão corretas.