Exercício 0.2 Simplifique as expressões abaixo
\frac{\left(a^{2} b^{3}\right)^{4}\left(a^{3} b^{4}\right)^{2}}{\left(a^{3} b^{2}\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\left(a^{2} b^{3}\right)^{4}\left(a^{3} b^{4}\right)^{2}}{\left(a^{3} b^{2}\right)^{3}}.
Informações dadas:
\text{numerador}=\left(a^{2} b^{3}\right)^{4}\left(a^{3} b^{4}\right)^{2}, \qquad \text{denominador}=\left(a^{3} b^{2}\right)^{3}.
Objetivo: reduzir essa fração usando as leis de potências para obter uma expressão mais simples em termos de a e b.

Passo 2

Vamos revisar as leis de potências que usaremos (explicando cada símbolo):
(xy)^{n}=x^{n}y^{n},
a regra diz que “a potência de um produto é o produto das potências”. Aqui x e y são fatores e n é o expoente inteiro. Ex.: (2\cdot 3)^{2}=6^{2}=36 e 2^{2}\cdot3^{2}=4\cdot9=36.
(x^{m})^{n}=x^{m\cdot n},
a regra diz que “potência de potência multiplica os expoentes”. Ex.: (x^{2})^{3}=x^{2\cdot3}=x^{6}.
x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n},
produto de potências de mesma base soma os expoentes. Ex.: x^{2}\cdot x^{3}=x^{5}.
\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}\quad(\text{quando }x\neq0),
quociente de potências da mesma base subtrai os expoentes. Ex.: \dfrac{x^{5}}{x^{2}}=x^{3}.
Essas são as ferramentas que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Aplicamos (xy)^{n}=x^{n}y^{n} e (x^{m})^{n}=x^{m\cdot n} aos fatores do numerador:
\left(a^{2} b^{3}\right)^{4} = (a^{2})^{4}\,(b^{3})^{4} = a^{2\cdot4}\,b^{3\cdot4} = a^{8}\,b^{12},
\left(a^{3} b^{4}\right)^{2} = (a^{3})^{2}\,(b^{4})^{2} = a^{3\cdot2}\,b^{4\cdot2} = a^{6}\,b^{8}.
Aqui eu usei explicitamente a multiplicação dos expoentes em cada fator.

Passo 4

Agora multiplicamos os dois fatores do numerador usando x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}:
a^{8}\,b^{12}\cdot a^{6}\,b^{8} = (a^{8}\cdot a^{6})\,(b^{12}\cdot b^{8}) = a^{8+6}\,b^{12+8} = a^{14}\,b^{20}.
Portanto o numerador simplificado é a^{14}\,b^{20}.

Passo 5

Calculamos o denominador aplicando as mesmas regras:
\left(a^{3} b^{2}\right)^{3} = (a^{3})^{3}\,(b^{2})^{3} = a^{3\cdot3}\,b^{2\cdot3} = a^{9}\,b^{6}.
Então o denominador é a^{9}\,b^{6}.

Passo 6

Agora usamos a regra do quociente de potências, \dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}, separadamente em a e em b:
\frac{a^{14}}{a^{9}} = a^{14-9}, \qquad \frac{b^{20}}{b^{6}} = b^{20-6}.
Ou seja, subtraímos os expoentes de mesma base no numerador e no denominador.

Resposta

a^{5}b^{14}

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