Exercício 0.2 Simplifique as expressões abaixo
\left(a^{2} b^{3}\right)^{2}\left(a^{3} b^{2}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(a^{2} b^{3}\right)^{2}\left(a^{3} b^{2}\right)^{3}.
Informações dadas:
\;a e \;b são símbolos (variáveis) e aparecem em potências inteiras positivas.
A expressão é o produto de duas potências de produtos: a primeira é \left(a^{2} b^{3}\right)^{2} e a segunda é \left(a^{3} b^{2}\right)^{3}.
O objetivo é escrever essa expressão de forma mais simples, combinando expoentes quando possível.

Passo 2

Relembrando as leis de potências que vamos usar (vou explicar cada uma rapidinho):
(xy)^n = x^n y^n.
Isso significa que quando você eleva um produto a uma potência, pode elevar cada fator àquela potência. Exemplo numérico: (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36 e 2^2\cdot3^2 = 4\cdot9 = 36, bate certinho.
(x^m)^n = x^{m n}.
Isso é a “potência de potência”: primeiro você tem x^m e eleva a n, o resultado é multiplicar os expoentes.
x^r x^s = x^{r+s}.
Quando multiplica potências com a mesma base, soma-se os expoentes. Exemplo: 2^3\cdot2^4 = 2^{3+4} = 2^7.

Passo 3

Aplicando \,(xy)^n = x^n y^n e depois (x^m)^n = x^{mn} à primeira parcela \left(a^{2} b^{3}\right)^{2}:
\left(a^{2} b^{3}\right)^{2} = \left(a^{2}\right)^{2}\left(b^{3}\right)^{2} = a^{2\cdot2} b^{3\cdot2} = a^{4} b^{6}.

Passo 4

Fazendo o mesmo com a segunda parcela \left(a^{3} b^{2}\right)^{3}:
\left(a^{3} b^{2}\right)^{3} = \left(a^{3}\right)^{3}\left(b^{2}\right)^{3} = a^{3\cdot3} b^{2\cdot3} = a^{9} b^{6}.

Passo 5

Agora multiplicamos as duas parcelas obtidas:
\left(a^{4} b^{6}\right)\left(a^{9} b^{6}\right) = a^{4} a^{9} b^{6} b^{6}.
Usando x^r x^s = x^{r+s} em cada base separadamente:
a^{4} a^{9} = a^{4+9} = a^{13},
b^{6} b^{6} = b^{6+6} = b^{12}.

Passo 6

Confirmação alternativa (mesma ideia, só somando expoentes diretamente): o expoente de a vem de 2\cdot2 (da primeira parcela) mais 3\cdot3 (da segunda), ou seja 2\cdot2 + 3\cdot3 = 4+9 = 13. O expoente de b vem de 3\cdot2 + 2\cdot3 = 6+6 = 12. Tudo consistente.

Resposta

a^{13} b^{12}

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