Exercício 0.2 Simplifique as expressões abaixo
\left(\frac{a^{3} b^{-4}}{a^{-2} b^{2}}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(\frac{a^{3} b^{-4}}{a^{-2} b^{2}}\right)^{3}.
Informações dadas importantes: a expressão envolve potências de a e b com expoentes inteiros (positivos e negativos). Não há outras condições escritas, então vamos assumir que a\neq 0 e b\neq 0 para que todas as potências e frações façam sentido.

Passo 2

Antes de operar, vamos lembrar (e eu te explico como se fosse um macete de prova) as regras de potências que usaremos:
  • Produto de potências com mesma base: \;x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}. Aqui x é a base e m,n são expoentes. Isso acontece porque você multiplica x por ele mesmo m vezes e mais n vezes, total m+n vezes.
  • Quociente de potências com mesma base: \;\dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}. Isso é como cancelar fatores comuns: se você tem m cópias de x sobre n cópias, sobra m-n.
  • Potência de potência: \;(x^{m})^{n}=x^{m\cdot n}. Você multiplica os expoentes.
  • Potência de um produto: \;(xy)^{n}=x^{n}y^{n}. O expoente distribui sobre a multiplicação.
  • Expoente negativo: \;x^{-m}=\dfrac{1}{x^{m}}. Significa “inverter a base e tornar o expoente positivo”.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Primeiro simplificamos o que está dentro dos parênteses, ou seja
\frac{a^{3} b^{-4}}{a^{-2} b^{2}}.
Usamos a regra do quociente separando as bases a e b:
\frac{a^{3} b^{-4}}{a^{-2} b^{2}} = \frac{a^{3}}{a^{-2}}\cdot \frac{b^{-4}}{b^{2}}.
Aqui só reorganizei a fração em dois quocientes porque as bases são diferentes e podemos tratar cada uma independentemente.

Passo 4

Agora aplicamos a regra \dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n} em cada parte:
Para a:
\frac{a^{3}}{a^{-2}} = a^{3-(-2)} = a^{3+2} = a^{5}.
Para b:
\frac{b^{-4}}{b^{2}} = b^{-4-2} = b^{-6}.
Portanto o conteúdo dos parênteses fica
a^{5} b^{-6}.

Passo 5

Agora elevamos esse resultado à potência 3. Usamos (xy)^{n}=x^{n}y^{n} e (x^{m})^{n}=x^{mn}:
\left(a^{5} b^{-6}\right)^{3} = a^{5\cdot 3}\, b^{-6\cdot 3} = a^{15} b^{-18}.

Passo 6

Geralmente, em provas pedem para deixar expoentes positivos quando possível. Usando x^{-m}=\dfrac{1}{x^{m}} transformamos b^{-18} em \dfrac{1}{b^{18}}, obtendo a forma com expoentes positivos:
a^{15} b^{-18} = \frac{a^{15}}{b^{18}}.

Resposta

\dfrac{a^{15}}{b^{18}}

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