Exercício 0.9 Simplifique as expressões abaixo
\left(3^{\sqrt{2}-1}\right)^{\sqrt{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \left(3^{\sqrt{2}-1}\right)^{\sqrt{2}+1}.
Informações dadas: a base é 3; o expoente interno é \sqrt{2}-1; o expoente externo é \sqrt{2}+1. O objetivo é escrever essa expressão numa forma mais simples (idealmente um número simples).

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica de potências que vamos usar: (a^{b})^{c} = a^{b\cdot c}.
Aqui a é a base (um número positivo, por exemplo), b e c são expoentes. A ideia é que elevar a a b e depois elevar o resultado a c equivale a multiplicar os expoentes. Exemplo simples para fixar a ideia:
(2^{3})^{4} = 2^{3\cdot 4} = 2^{12}.
Essa regra é o que nos permite “juntar” os expoentes.

Passo 3

Aplicando a regra à expressão do exercício, obtemos:
\left(3^{\sqrt{2}-1}\right)^{\sqrt{2}+1} = 3^{(\sqrt{2}-1)\,(\sqrt{2}+1)}.
Então o problema virou calcular o produto (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1).

Passo 4

Calculemos o produto de (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1). Isso é um produto de conjugados; a fórmula geral é (x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}. Aqui x=\sqrt{2} e y=1. Aplicando:
(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^{2}-1^{2}.
Expliquei por que funciona: ao multiplicar com FOIL, os termos mistos -\sqrt{2} e +\sqrt{2} se cancelam, sobrando só os quadrados.

Passo 5

Agora calcule os quadrados:
(\sqrt{2})^{2}=2\quad\text{e}\quad 1^{2}=1,
portanto
(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=2-1=1.

Passo 6

Voltando à potência, temos:
3^{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=3^{1}=3.
Pronto — a expressão simplifica exatamente para 3. Ótimo resultado: a conjugação dos expoentes fez tudo se cancelar direitinho!

Resposta

3

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