Exercício 0.9 Simplifique as expressões abaixo
9^{\sqrt{2}} / 3^{\sqrt{8}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \dfrac{9^{\sqrt{2}}}{3^{\sqrt{8}}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \;9^{\sqrt{2}} e \;3^{\sqrt{8}}.

Passo 2

Vamos recordar duas regras importantes de potências que vamos usar (explicadas de forma bem clara):
A regra de potência de potência:
(a^b)^c = a^{b\cdot c},
onde a é a base e b,c são expoentes. Isso significa que, quando você eleva uma potência a outra potência, multiplica-se os expoentes.
A regra da divisão de potências com mesma base:
\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c},
válida quando a base a é positiva (ou, de modo geral, quando a expressão faz sentido). Aqui b e c são os expoentes.

Passo 3

Identificar bases e reescrever números como potências com a mesma base. Note que 9 pode ser escrito como potência de 3:
9 = 3^2.
Isso é útil porque o denominador já tem base 3.

Passo 4

Simplificar o radical do expoente no denominador. Calcule \sqrt{8} usando fatoração:
\sqrt{8} = \sqrt{4\cdot 2} = \sqrt{4}\,\sqrt{2} = 2\sqrt{2},
pois \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} para a,b\ge 0.

Passo 5

Reescrever numerador e denominador usando as propriedades acima. Para o numerador:
9^{\sqrt{2}} = (3^2)^{\sqrt{2}}.
Aplicando a regra (a^b)^c=a^{b\cdot c}, obtemos
(3^2)^{\sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2}}.
Para o denominador, usando \sqrt{8}=2\sqrt{2}, temos
3^{\sqrt{8}} = 3^{2\sqrt{2}}.

Passo 6

Agora a expressão fica
\frac{9^{\sqrt{2}}}{3^{\sqrt{8}}} = \frac{3^{2\sqrt{2}}}{3^{2\sqrt{2}}}.
Usando a regra da divisão de potências com mesma base,
\frac{3^{2\sqrt{2}}}{3^{2\sqrt{2}}} = 3^{\,2\sqrt{2}-2\sqrt{2}} = 3^{0}.
E pela propriedade a^0=1 para a>0, obtemos o resultado final.

Resposta

1

Exercícios relacionados