Exercício 0.9 Simplifique as expressões abaixo
\left(2^{\sqrt[3]{3}}\right)^{\sqrt[3]{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\left(2^{\sqrt[3]{3}}\right)^{\sqrt[3]{2}}.
As informações dadas são exatamente essa expressão; não há dados numéricos extras.

Passo 2

Vou usar uma propriedade básica de potências: quando você tem uma potência elevada a outra potência, os expoentes se multiplicam. Em forma simbólica:
(a^b)^c = a^{b\cdot c}.
Aqui a é a base (um número positivo, no nosso caso 2), b e c são os expoentes. Um exemplo simples para lembrar: (2^3)^4 = 2^{3\cdot4}=2^{12}. Essa propriedade vale porque elevar à potência é uma operação que transforma multiplicação de potências com mesma base em soma de expoentes; aplicar potência sobre potência corresponde a multiplicar os expoentes.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso problema, tiramos os parênteses e multiplicamos os expoentes:
\left(2^{\sqrt[3]{3}}\right)^{\sqrt[3]{2}} = 2^{\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{2}}.
Agora precisamos simplificar o produto dos expoentes \sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{2}.

Passo 4

Lembre que raiz cúbica corresponde a expoente 1/3. Ou seja,
\sqrt[3]{3}=3^{1/3},\qquad \sqrt[3]{2}=2^{1/3}.
Multiplicando:
\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{2}=3^{1/3}\cdot2^{1/3}=(3\cdot2)^{1/3}=6^{1/3}=\sqrt[3]{6}.
A igualdade (x^{1/3})(y^{1/3})=(xy)^{1/3} vale porque os expoentes são iguais e podemos juntar as bases multiplicando-as.

Passo 5

Substituindo de volta no expoente, obtemos a forma simplificada:
\left(2^{\sqrt[3]{3}}\right)^{\sqrt[3]{2}}=2^{\sqrt[3]{6}}.

Resposta

2^{\sqrt[3]{6}}

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