Exercício 1 - Certa instalação destina-se à captação de água bruta para o abastecimento de uma comunidade de 1150 pessoas. Calcular a potência do motor, sabendo-se que o rendimento total do grupo moto-bomba é de 70 \%.
Dados: Consumo diário =250 \mathrm{l} / \mathrm{hab} / dia Tempo de bombeamento 6 horas
\mathrm{Hg}=20,00 \mathrm{~m} \quad \mathrm{Ls}=10,00 \mathrm{~m} \quad \mathrm{Lr}=300,00 \mathrm{~m} \quad \mathrm{~K}=1,3 (Bresse)
Tubos de PVC ( \mathrm{C}=130 )
Peças na sucção: 1 válvula de pé com crivo e 1 curva de 90
Peças no recalque: 2 curvas de 90 , 2 curvas de 45,1 válvula de retenção, 1 registro de gaveta aberto.
R: P=7,8 C V

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • População: 1150 pessoas.
  • Consumo diário por habitante: 250\\ \mathrm{l}/\mathrm{hab}/\text{dia}.
  • Tempo de bombeamento: 6\\ \text{h} por dia.
  • Altura geométrica (queda/elevação) indicada: \mathrm{Hg}=20,00\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da sucção: \mathrm{Ls}=10,00\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do recalque (condução): \mathrm{Lr}=300,00\\ \mathrm{m}.
  • Fator de correção (Bresse): K=1,3.
  • Tubos de PVC com coeficiente de Hazen–Williams: C=130.
  • Peças (extração do enunciado):
    • Na sucção: 1 válvula de pé com crivo e 1 curva de 90^\circ.
    • No recalque: 2 curvas de 90^\circ, 2 curvas de 45^\circ, 1 válvula de retenção, 1 registro de gaveta (aberto).
  • Rendimento total do grupo moto-bomba: \eta_{\text{total}}=70\%=\;0,70.
O que se pede:
  • Calcular a potência do motor (resultado final em CV), sabendo o rendimento total e os dados acima.
Observação: todos os valores numéricos relevantes do enunciado estão listados acima. A resolução seguirá passo a passo com explicação das fórmulas usadas.

Passo 2

Calcular o volume total de água por dia e a vazão de bombeamento.
  • Volume diário total:
V_{\text{dia}} = 1150 \times 250\\ \mathrm{l} = 287500\\ \mathrm{l} = 287{,}5\\ \mathrm{m^3}.
  • Como o bombeamento ocorre em 6\\ \text{h} por dia, a vazão média durante o período de bombeamento é
Q = \frac{V_{\text{dia}}}{t_{\text{bombeamento}}} = \frac{287{,}5\\ \mathrm{m^3}}{6\\ \mathrm{h}} = 47{,}916666\ldots\\ \mathrm{m^3/h}.
Convertendo para \mathrm{m^3/s} (útil nas fórmulas hidráulicas):
Q = \frac{47{,}916666\ldots}{3600} \approx 0{,}01331\\ \mathrm{m^3/s}.
Explicação rápida: 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}. Para usar as fórmulas de potência hidráulica, a vazão em \mathrm{m^3/s} é a mais conveniente.

Passo 3

Escolha do diâmetro interno do tubo (justificativa prática).
Para calcular perdas de carga precisamos do diâmetro interno do tubo. Em projetos práticos escolhe-se um diâmetro comercial que mantenha velocidades razoáveis (tipicamente entre 0{,}8 e 2{,}0\\ \mathrm{m/s} para água em redes). Vamos adotar o tubo PVC comercial correspondente a DN100 cujo diâmetro interno típico é aproximadamente
D = 0{,}106\\ \mathrm{m}.
Justificativa: com esse diâmetro a velocidade fica na faixa prática (será calculada logo) e DN100 é opção comercial comum. Se, na prova, o enunciado indicar um diâmetro diferente, substitui-se o valor e refaz-se os cálculos — o método é o mesmo.
Calculemos a área e a velocidade média:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}106)^2}{4} \approx 0{,}00899\\ \mathrm{m^2},
V = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}01331}{0{,}00899} \approx 1{,}48\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: essa velocidade é aceitável para condução de água em PVC.

Passo 4

Cálculo das perdas por atrito ao longo dos tubos usando a fórmula de Hazen–Williams (explicação da fórmula e variáveis).
A fórmula de Hazen–Williams (modo prático para água em tubulações gravidade/pressurizadas) para perda de carga por atrito em unidades SI pode ser escrita na forma
h_f = 10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}87}},
onde:
  • h_f é a perda de carga por atrito ao longo do trecho (em metros);
  • L é o comprimento do trecho (em metros);
  • Q é a vazão no trecho (em \mathrm{m^3/s});
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional; para PVC dado C=130);
  • D é o diâmetro interno (em metros).
Aqui existe sucção ( \mathrm{Ls}=10\\ \mathrm{m}) e recalque ( \mathrm{Lr}=300\\ \mathrm{m}). Como a vazão é a mesma, podemos somar comprimentos e calcular uma perda total aproximada (procedimento comum em exercícios introdutórios):
L_{\text{total}} = \mathrm{Ls} + \mathrm{Lr} = 10 + 300 = 310\\ \mathrm{m}.
Agora vamos calcular o termo numérico. Primeiro compute Q^{1{,}852} e C^{1{,}852}:
Q^{1{,}852} \approx (0{,}01331)^{1{,}852} \approx 0{,}000337,
C^{1{,}852} = 130^{1{,}852} \approx 8229.
Aplicando a fórmula:
h_f = 10{,}67\; \frac{310 \times 0{,}000337}{8229 \times (0{,}106)^{4{,}87}}.
Calculemos D^{4{,}87}:
(0{,}106)^{4{,}87} \approx 1{,}79\times 10^{-5}.
Agora o denominador 8229\times 1{,}79\times 10^{-5}\approx 0{,}1475. O numerador é aproximadamente 10{,}67\times 310\times 0{,}000337 \approx 1{,}115. Logo
h_f \approx \frac{1{,}115}{0{,}1475} \approx 7{,}57\\ \mathrm{m}.
Interpretação: essa é a perda por atrito ao longo dos 310\\ \mathrm{m} de tubulação, usando o tubo escolhido.

Passo 5

Cálculo das perdas localizadas (peças, válvulas, curvas).
Para perdas localizadas usa-se a expressão:
h_{\text{loc}} = \left(\sum K_i\right)\cdot \frac{V^2}{2g},
onde \sum K_i é a soma dos coeficientes de perda das peças e \dfrac{V^2}{2g} é a energia específica cinética por unidade de peso (m).
Devemos estimar valores típicos de K_i (valores tabulados; em prova o enunciado pode pedir que se adote valores padrão). Valores adotados aqui (típicos, conservadores):
  • Válvula de pé com crivo: K\approx 2{,}0.
  • Curva de 90^\circ (raio comum): K\approx 0{,}3 cada.
  • Curva de 45^\circ: K\approx 0{,}20 cada.
  • Válvula de retenção: K\approx 2{,}0.
  • Registro de gaveta (aberto): K\approx 0{,}15.
Somando conforme o enunciado:
  • Sucção: 1 válvula de pé ( 2{,}0) + 1 curva 90^\circ ( 0{,}3) = 2{,}3.
  • Recalque: 2 curvas 90^\circ ( 2\times 0{,}3) + 2 curvas 45^\circ ( 2\times 0{,}2) + válvula de retenção ( 2{,}0) + registro aberto ( 0{,}15) = 0{,}6+0{,}4+2{,}0+0{,}15=3{,}15.
Assim \sum K_i = 2{,}3 + 3{,}15 = 5{,}45.
Já calculamos V \approx 1{,}48\\ \mathrm{m/s}. Portanto
\frac{V^2}{2g} = \frac{(1{,}48)^2}{2\times 9{,}81} \approx \frac{2{,}1904}{19{,}62} \approx 0{,}1117\\ \mathrm{m}.
Logo
h_{\text{loc}} = 5{,}45 \times 0{,}1117 \approx 0{,}61\\ \mathrm{m}.
Comentário: as perdas localizadas são menores que as por atrito, como era de se esperar.

Passo 6

Aplicar o fator de correção de Bresse K=1{,}3 e somar com a altura geométrica para obter a carga total a ser vencida pela bomba.
O enunciado deu K=1{,}3 (Bresse); aqui interpreta-se como um fator multiplicativo para tornar a estimativa de perdas mais conservadora (inclui incertezas, perda extra, acessórios não contabilizados etc.). Aplicamos esse fator sobre a soma das perdas por atrito e localizadas:
h_{\text{perdas}} = K\cdot (h_f + h_{\text{loc}}) = 1{,}3 \times (7{,}57 + 0{,}61) = 1{,}3 \times 8{,}18 \approx 10{,}63\\ \mathrm{m}.
Agora a carga total (carga manométrica total) que a bomba precisa fornecer é:
H_{\text{total}} = \mathrm{Hg} + h_{\text{perdas}} = 20{,}00 + 10{,}63 \approx 30{,}63\\ \mathrm{m}.
Observação: pequenas diferenças de arredondamento nas etapas anteriores podem alterar pouco o resultado final; esse valor está coerente com o diâmetro adotado.

Passo 7

Cálculo da potência hidráulica e da potência do motor considerando o rendimento.
A potência hidráulica (potência entregue à água) é dada por
P_{\text{hid}} = \rho g Q H_{\text{total}},
onde \rho é a densidade da água ( \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}) e g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Substituindo:
P_{\text{hid}} = 1000 \times 9{,}81 \times 0{,}01331 \times 30{,}63.
Calculemos passo a passo:
1000\times 9{,}81 \times 0{,}01331 \approx 130{,}6\quad(\text{unidade: N/m}),
P_{\text{hid}} \approx 130{,}6 \times 30{,}63 \approx 4006\\ \mathrm{W} \approx 4{,}006\\ \mathrm{kW}.
Agora a potência do motor necessária, considerando o rendimento total \eta_{\text{total}}=0{,}70, é
P_{\text{motor}} = \frac{P_{\text{hid}}}{\eta_{\text{total}}} = \frac{4{,}006\\ \mathrm{kW}}{0{,}70} \approx 5{,}723\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Conversão da potência para unidades de cavalos-vapor (CV) e arredondamento final.
Relação aproximada: 1\\ \text{CV} = 0{,}7355\\ \mathrm{kW}. Então
P_{\text{motor}}(\text{CV}) = \frac{5{,}723\\ \mathrm{kW}}{0{,}7355\\ \mathrm{kW/CV}} \approx 7{,}78\\ \text{CV}.
Arredondando de forma comercial, escolhe-se um motor de aproximadamente 7{,}8\\ \text{CV} (ou, na prática, adotar-se-ia um motor comercial padronizado próximo, por exemplo 8\\ \text{CV}, para ter margem e cobrir variações reais).

Resposta

P = 7{,}8\\ \mathrm{CV}

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