Exercício 5. Uma solução da equação y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0 é (1+x)^2, e o Wronskiano de duas soluções quaisquer, desta equação, é constante. Determine a solução geral de y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=1+x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de
y''+p(x),y'+q(x),y=1+x
sabendo que (1+x)^2 é uma solução da homogênea e que o Wronskiano de duas soluções quaisquer da homogênea é constante.
Pela identidade de Abel temos
W(x)=C e^-integral p(x),dx
Como W(x) é constante e diferente de zero, obrigatoriamente
p(x)=0
Assim a homogênea vira
y''+q(x),y=0,
e substituindo y1(x)=(1+x)^2 obtemos
y1''+q(x),y1=0 Longrightarrow 2+q(x),(1+x)^2=0 Longrightarrow q(x)=-2(1+x)^2

Passo 2

Agora o sistema homogêneo é
y''-2(1+x)^2y=0
Uma segunda solução y2 pode ser encontrada por redução de ordem:
y2=y1integrale^-integral py1^2,dx =(1+x)^2integral1(1+x)^4,dx =(1+x)^2l(-tfrac13(1+x)^-3r)
Ignorando constante multiplicativa escolhemos
y2=(1+x)^-1
Logo a solução geral da homogênea é
yh=C1(1+x)^2+C2(1+x)^-1

Passo 3

Para a particular usamos variação de parâmetros. Primeiro o Wronskiano
W =dety1 & y2 y1' & y2' =(1+x)^2l(-!(1+x)^-2r) -2(1+x),(1+x)^-1 =-1-2 =-3
A fórmula dá
yp =-y1integraly2,(1+x)W,dx ;+;y2integraly1,(1+x)W,dx

Passo 4

Calculando as integrais separadamente:
integraly2,(1+x)W,dx =integral(1+x)^-1(1+x)-3,dx =integral-tfrac13,dx =-tfracx3,
integraly1,(1+x)W,dx =integral(1+x)^2(1+x)-3,dx =integral-tfrac13(1+x)^3,dx =-tfrac112(1+x)^4
Então
yp =-,y1l(-tfracx3r) + y2l(-tfrac112(1+x)^4r) =x(1+x)^23-(1+x)^312 =(1+x)^2,(3x-1)12

Passo 5

A solução geral da não-homogênea é
y(x) =C1(1+x)^2+C2(1+x)^-1 +(1+x)^2,(3x-1)12

Resposta

boxedy(x)=C1(1+x)^2+C2(1+x)^-1+(1+x)^2,(3x-1)12

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