Exercício 5. Uma solução da equação
é
, e o Wronskiano de duas soluções quaisquer, desta equação, é constante. Determine a solução geral de
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de
sabendo que
é uma solução da homogênea e que o Wronskiano de duas soluções quaisquer da homogênea é constante.
Pela identidade de Abel temos
Pela identidade de Abel temos
Como
é constante e diferente de zero, obrigatoriamente
Assim a homogênea vira
e substituindo
obtemos
Passo 2
Agora o sistema homogêneo é
Uma segunda solução
pode ser encontrada por redução de ordem:
Ignorando constante multiplicativa escolhemos
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a particular usamos variação de parâmetros. Primeiro o Wronskiano
A fórmula dá
Passo 4
Calculando as integrais separadamente:
Então
Passo 5
A solução geral da não-homogênea é