Exercício 0.7 Qual é o valor de c se
\sum_{k=1}^{\infty}(1+c)^{-k}=2 ?

Passo 1

O enunciado dá a soma infinita
\sum_{k=1}^{\infty}(1+c)^{-k}=2
O que se pede: encontrar o valor de c que torna essa igualdade verdadeira.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A soma é uma série geométrica infinita com termos do tipo (1+c)^{-k}.
  • A soma da série vale 2.

Passo 2

Lembrança (fórmula e ideia que vamos usar): a soma de uma série geométrica infinita com primeiro termo a e razão r é, quando converge,
\text{soma}=\frac{a}{1-r},
desde que |r|<1. Vou mostra rapidamente de onde vem essa fórmula para você se sentir seguro na prova.

Passo 3

Derivação curta da fórmula (passo didático): a soma parcial até n termos de uma geométrica com primeiro termo a e razão r é
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} = a\frac{1-r^n}{1-r}\quad\text{se }r\neq1.
Se |r|<1, então r^n\to0 quando n\to\infty, e portanto a soma infinita é
S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-r}.

Passo 4

Identificar a e r na série dada. O termo geral é (1+c)^{-k} com k começando em 1. Então:
  • o primeiro termo é
a=(1+c)^{-1},
  • a razão entre termos consecutivos é
r=(1+c)^{-1},
pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por (1+c)^{-1}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da soma infinita: como a=r, a soma é
S=\frac{a}{1-r}=\frac{(1+c)^{-1}}{1-(1+c)^{-1}}.
Calculemos essa expressão simplificando passo a passo:
S=\frac{1/(1+c)}{1-1/(1+c)}=\frac{1/(1+c)}{\bigl((1+c)-1\bigr)/(1+c)}=\frac{1}{c}.
Portanto, quando a série converge, a soma vale 1/c.

Passo 6

Condição de convergência e domínio válido: a fórmula usada exige |r|<1, isto é
\left|(1+c)^{-1}\right|<1\quad\Longleftrightarrow\quad |1+c|>1.
Também a expressão 1/c só faz sentido para c\neq0. Então precisamos de c\neq0 e |1+c|>1. Vamos ver se a solução que encontrarmos satisfaz essas condições.

Passo 7

Usar a igualdade dada no enunciado: sabemos que a soma é 2, e mostramos que a soma vale 1/c. Logo
\frac{1}{c}=2.
Resolvendo para c:
c=\frac{1}{2}.

Passo 8

Verificação das condições: para c=\tfrac{1}{2} temos c\neq0 e 1+c=1{,}5, logo |1+c|=1{,}5>1. Assim a série converge e a solução é válida.

Resposta

c=\tfrac{1}{2}

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