Exercício 4) Para uma superfície horizontal, isto é, com ângulo de inclinação igual a 0^{\circ}, sabemos que o ângulo de incidência é o ângulo zenital. Para esta situação, calcule os ângulos zenital e azimutal solar para uma latitude de 43^{\circ} e longitude de 90^{\circ}, às 9: 30 \mathrm{~h} \mathrm{AM} do dia 13 de Fevereiro.
Month n for i th Day of Month
January i
February 31+i
March 59+i
April 90+i
May 120+i
June 151+i
July 181+i
August 212+i
September 243+i
October 273+i
November 304+i
December 334+i

Passo 1

O enunciado pede: calcular os ângulos zenital e azimutal solar para uma superfície horizontal (logo o ângulo de incidência = ângulo zenital) nas coordenadas e horário dados. Informações fornecidas e suposições que vou adotar (não vou pedir nada a mais):
  • Latitude: \varphi = 43^\circ (positivo, Norte).
  • Longitude: 90^\circ (o enunciado não especifica leste/oueste nem fuso; para evitar precisar do fuso e da equação do tempo, vou assumir que o horário dado é a hora solar local (hora solar verdadeira) — ou seja, 9{:}30 é o tempo solar; essa é uma suposição padrão em exercícios quando não se dá o fuso).
  • Horário: 9{:}30\\ \mathrm{AM} (assumido como hora solar local).
  • Data: 13 de Fevereiro. Pela tabela, o número do dia do ano é n = 31 + 13 = 44.
    O que preciso retornar:
  • Ângulo zenital solar \theta_z (em graus).
  • Ângulo azimutal solar (convenção usada: azimute medido a partir do norte verdadeiro, positivo para leste; ou seja 0^\circ= Norte, 90^\circ= Leste, 180^\circ= Sul, 270^\circ= Oeste).

Passo 2

Calcular o número do dia do ano n (peguei o dado da tabela do enunciado).
n = 31 + 13 = 44.

Passo 3

Calcular a declinação solar \delta. Vou usar a fórmula aproximada muito comum, que dá boa precisão para exercícios:
\delta = 23{,}45^\circ \sin\!\biggl( \frac{360^\circ(284 + n)}{365} \biggr).
Explicação didática rápida da fórmula: \delta é o ângulo entre o plano do equador e a direção ao Sol; a fórmula acima é uma aproximação sazonal que usa o dia do ano n para posicionar o Sol ao longo da órbita anual (a unidade do seno é graus). Aqui:
\delta = 23{,}45^\circ \sin\!\biggl( \frac{360^\circ(284 + 44)}{365} \biggr) = 23{,}45^\circ \sin\!\biggl( \frac{360^\circ \cdot 328}{365} \biggr).
Agora avalio numericamente (mostrando os passos de conta):
\frac{328}{365}\approx 0{,}898630\quad\Rightarrow\quad 360^\circ\cdot0{,}898630\approx 323{,}50685^\circ.
\sin(323{,}50685^\circ)=\sin(-36{,}49315^\circ)\approx -0{,}5960
\delta \approx 23{,}45^\circ \times (-0{,}5960)\approx -13{,}98^\circ.
Portanto:
\delta \approx -13{,}98^\circ.

Passo 4

Calcular o ângulo horário H. Definição e explicação: o ângulo horário H mede quanto tempo (em ângulo) o Sol está a leste ou oeste do meridiano local; cada hora corresponde a 15^\circ. A relação é
H = 15^\circ \times (\text{Hora solar} - 12).
Assumindo que a hora solar é 9{:}30 (ou seja 9{,}5 horas), obtemos
H = 15^\circ \times (9{,}5 - 12) = 15^\circ \times (-2{,}5) = -37{,}5^\circ.
O sinal negativo indica que é antes do meridiano (manhã), o que faz sentido.

Passo 5

Fórmula do ângulo zenital \theta_z e interpretação. Para uma superfície horizontal o ângulo zenital é exatamente o complementar da altura solar; a fórmula que liga latitude \varphi, declinação \delta e ângulo horário H é:
\cos\theta_z = \sin\varphi\,\sin\delta + \cos\varphi\,\cos\delta\,\cos H.
Explicação didática: essa fórmula vem da geometria esférica — projeta a posição do Sol na esfera celeste e calcula a distância angular até o zênite (ponto diretamente acima). Cada termo tem significado:
  • \varphi: latitude do observador.
  • \delta: declinação solar (posição N/S do Sol).
  • H: quão longe, em ângulo, o Sol está do meridiano local.
    Usando os valores que já temos, vou calcular passo a passo os senos e cossenos necessários (mostro as contas para poder reproduzir na prova sem pular etapas).

Passo 6

Cálculo numérico detalhado para \theta_z.
Primeiro calcule funções trigonométricas (todas em graus):
\sin\varphi = \sin(43^\circ)\approx 0{,}6820, \qquad \cos\varphi = \cos(43^\circ)\approx 0{,}7314.
\sin\delta = \sin(-13{,}98^\circ)\approx -0{,}2418, \qquad \cos\delta = \cos(-13{,}98^\circ)\approx 0{,}9703.
\cos H = \cos(-37{,}5^\circ)=\cos(37{,}5^\circ)\approx 0{,}7934.
Agora substituo na fórmula \cos\theta_z = \sin\varphi\,\sin\delta + \cos\varphi\,\cos\delta\,\cos H:
\sin\varphi\,\sin\delta \approx 0{,}6820 \times (-0{,}2418) \approx -0{,}1650,
\cos\varphi\,\cos\delta\,\cos H \approx 0{,}7314 \times 0{,}9703 \times 0{,}7934 \approx 0{,}5622.
Somando:
\cos\theta_z \approx -0{,}1650 + 0{,}5622 = 0{,}3972.
Logo o ângulo zenital é
\theta_z = \operatorname{arccos}(0{,}3972)\approx 66{,}57^\circ.
Observação útil: a altura solar (elevação) é \alpha = 90^\circ - \theta_z. Aqui \alpha \approx 90^\circ - 66{,}57^\circ = 23{,}43^\circ, ou seja o Sol está cerca de 23{,}4^\circ acima do horizonte.

Passo 7

Cálculo do ângulo azimutal solar. Fórmula prática e explicação de convenção: vou usar a forma numérica robusta que evita ambiguidades de quadrante (é a forma usada por agências como NOAA). Primeiro defino a elevação (já obtida) \alpha e calculo:
\sin\alpha = \sin\varphi\,\sin\delta + \cos\varphi\,\cos\delta\,\cos H \quad(\text{já obtido; note que } \sin\alpha=\cos\theta_z).á
Para o azimute medido a partir do norte, no sentido positivo para leste, uma expressão computacional confiável é:
\mathrm{azim\_temp} = \operatorname{atan2}\!\bigl(\sin H,\;\cos H\,\sin\varphi - \tan\delta\,\cos\varphi\bigr),
onde \operatorname{atan2}(y,x) dá o ângulo correto no quadrante entre -180^\circ e 180^\circ. Depois faz-se a conversão para a convenção norte→leste:
\text{Azimute (deg, Norte→Leste)} = \bigl(\mathrm{azim\_temp}\times\tfrac{180^\circ}{\pi} + 180^\circ \bigr)\bmod 360^\circ.
Explicando por que: a combinação \operatorname{atan2}(\sin H,\dots) resolve o sinal e quadrante; a adição de 180^\circ põe o ângulo na convenção Norte→Leste usada aqui.
Agora calculo numericamente passo a passo (usando os valores já calculados):
\sin H = \sin(-37{,}5^\circ)\approx -0{,}6088.
\cos H\,\sin\varphi - \tan\delta\,\cos\varphi = 0{,}7934\times 0{,}6820 - \bigl(\tan(-13{,}98^\circ)\bigr)\times 0{,}7314.
\tan(-13{,}98^\circ)\approx -0{,}2493.
0{,}7934\times 0{,}6820 \approx 0{,}5410,\qquad -\tan\delta\cos\varphi \approx -(-0{,}2493)\times 0{,}7314 \approx +0{,}1823.
\Rightarrow \cos H\,\sin\varphi - \tan\delta\,\cos\varphi \approx 0{,}5410 - (-0{,}1823) = 0{,}7233.
Agora a função \operatorname{atan2}:
\mathrm{azim\_temp} = \operatorname{atan2}(-0{,}6088,\;0{,}7233)\approx -40{,}90^\circ.
Converto para a convenção norte→leste:
\text{Azimute} = (-40{,}90^\circ + 180^\circ)\bmod 360^\circ \approx 139{,}10^\circ.
Arredondando de forma consistente com as outras grandezas:
\text{Azimute} \approx 139{,}1^\circ.
Interpretação rápida: um azimute de 139{,}1^\circ significa que o Sol está a sudeste do observador (entre Leste 90^\circ e Sul 180^\circ), o que é sensato para uma manhã de fevereiro no hemisfério norte.

Resposta

\theta_z \approx 66{,}57^\circ
\text{Azimute} \approx 139{,}1^\circ

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