Para o exercício 7 , suponha que as bolas brancas sejam numeradas e defina:
Yi= 1 & , se a i-ésima bola branca foi se<=cionada 0 & , caso contrário éá
Encontre a função de probabilidade conjunta de: (a) (Y1, Y2)

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que temos várias bolas brancas numeradas e estamos escolhendo, sem reposição, um total de Yi = 1, & se a (i)-ésima bola branca foi escolhida, 0, & caso contrário bolas de um conjunto de (sendo brancas e pretas). Definimos
éá
O que a gente quer é a função de probabilidade conjunta de .
Conteúdo envolvido: variáveis indicadoras, contagem com combinação (distribuição hipergeométrica). Vamos precisar usar combinações pra contar quantos jeitos de escolher um subconjunto.

Passo 2

Teoria do “sem reposição” e combinação: toda amostra de P(Y1=1,Y2=1), bolas tem chance igual de P(Y1=1,Y2=1) = binomN-2,n-2,binomNn .
Para calcular
a gente precisa selecionar as duas bolas 1 e 2 (é só 1 jeito de pegar essas duas) e escolher as outras bolas entre as restantes. Logo o número de casos favoráveis é . Assim

Passo 3

Agora P(Y1=1,Y2=0) = binomN-2,n-1,binomNn : a bola 1 foi, a 2 não.
  • Escolhemos a 1 forçosamente.
  • A 2 fica de fora.
  • Precisamos pegar mais bolas entre as outras .
    Casos favoráveis: .
    Logo

Passo 4

Pelo mesmo raciocínio, para P(Y1=0,Y2=1) = binomN-2,n-1,binomNn (1 fica de fora e 2 entra):

Passo 5

Por fim, P(Y1=0,Y2=0) = binomN-2,n,binomNn : nenhuma das duas entrou, então temos que escolher as bolas todas entre as que sobraram.

Resposta

A função de probabilidade conjunta de P(Y1=y1,Y2=y2) =binomN-2,n-(y1+y2),binomNn, (y1,y2)in0,1^2, é
P(1,1)&=binomN-2,n-2,binomNn, P(1,0)&=binomN-2,n-1,binomNn, P(0,1)&=binomN-2,n-1,binomNn, P(0,0)&=binomN-2,n,binomNn
ou, escrito caso a caso,

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