Para o exercício 7 , suponha que as bolas brancas sejam numeradas e defina:
Yi= 1 & , se a i-ésima bola branca foi se<=cionada 0 & , caso contrário éá
Encontre a função de probabilidade conjunta de: (b) (Y1, Y2, Y3)

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos uma urna com Yi = 1, & se a bola branca (i) foi retirada, 0, & caso contrário bolas (algumas brancas, outras não), e que marcamos 3 bolas brancas específicas como “1”, “2” e “3”. A gente vai tirar bolas sem reposição e definir
á
O que queremos é a função de probabilidade conjunta
.
Conteúdo: distribuição hipergeométrica (contagem de combinações).

Passo 2

Primeiro, note que um vetor Z = y1 + y2 + y3 só faz sentido quando cada vale 0 ou 1 e a soma
é no máximo (você não pode tirar mais de bolas). O evento fixa quais das três bolas especiais foram ou não retiradas. Se delas foram retiradas, sobram lugares no sorteio para vir de entre as outras bolas.
Usamos a ideia de distribuição hipergeométrica:
  • Total de jeitos de escolher bolas de : .
  • Jeitos de escolher exatamente as bolas marcadas (já está “fixo” pelo padrão ) e mais bolas de entre as restantes: .

Passo 3

Logo, a probabilidade conjunta vale
P(Y1=y1,Y2=y2,Y3=y3) = binomN-3,k - (y1+y2+y3), binomNk para yiin0,1,;y1+y2+y3<= k,
e é zero em qualquer outro caso (se algum sai de ou ).

Resposta

[
P(Y_1=y_1,Y_2=y_2,Y_3=y_3)

P(Y1=y1,Y2=y2,Y3=y3) = dfracbinomN-3,k - (y1+y2+y3),binomNk, & yiin0,1,;y1+y2+y3<= k,[1em] 0,&caso contrário á
]

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